*8* | अगले पद का पूर्वानुमान — अनुक्रमों और श्रेढ़ियों का अन्वेषण | Predicting the Next Term — Exploration of Sequences and Series

🔴 भाग 1/5 - अनुक्रम क्या है?

अनुक्रम क्या है?
संख्याओं की ऐसी सूची जो किसी निश्चित नियम के अनुसार व्यवस्थित हो, अनुक्रम कहलाती है।
प्रत्येक संख्या को अनुक्रम का पद कहा जाता है।

उदाहरण:
- 2,4,6,8,10,... सम संख्याएँ - नियम +2
- 1,3,5,7,9,... विषम संख्याएँ - नियम +2
- 1,4,9,16,25,... वर्ग संख्याएँ - n²
- 2,4,8,16,32,... दोगुना - ×2


श्रेढ़ी क्या है?
अनुक्रम के पदों का योग श्रेढ़ी कहलाता है।
2+4+6+8+... अनुक्रम 2,4,6,8 की श्रेढ़ी

अग्निवीर में अनुक्रम से 1-2 प्रश्न - अगला पद, nवाँ पद, योग

🔵 भाग 2/5 - अनुक्रम के प्रकार

अनुक्रम के प्रकार:

1. समान्तर श्रेढ़ी (AP - Arithmetic Progression):
जहाँ प्रत्येक पद में समान अंतर d जुड़ता है।
a, a+d, a+2d, a+3d, ...
उदाहरण: 3,7,11,15,... d=4
सूत्र: an = a+(n-1)d
योग Sn = n/2[2a+(n-1)d] = n/2(a+an)

2. गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP - Geometric Progression):
जहाँ प्रत्येक पद में समान अनुपात r से गुणा होता है।
a, ar, ar², ar³, ...
उदाहरण: 2,6,18,54,... r=3
सूत्र: an = a·r^(n-1)
योग Sn = a(r^n-1)/(r-1), r≠1

3. विशेष अनुक्रम:
- वर्ग: 1,4,9,16... n²
- घन: 1,8,27,64... n³
- त्रिकोणीय: 1,3,6,10... n(n+1)/2
- फिबोनाची: 1,1,2,3,5,8... an=an-1+an-2

🟢 भाग 3/5 - अगला पद कैसे ज्ञात करें?

अगले पद का पूर्वानुमान - पैटर्न देखो:

विधि 1 - अंतर देखो (AP):
2,5,8,11,... अंतर 3, अगला 14
an=3n-1

विधि 2 - अनुपात देखो (GP):
3,6,12,24,... अनुपात 2, अगला 48
an=3·2^(n-1)

विधि 3 - वर्ग/घन:
1,4,9,16,... n² अगला 25
1,8,27,64,... n³ अगला 125

विधि 4 - दो नियम मिलाकर:
2,6,12,20,30,... n(n+1) अगला 42
1,2,4,7,11,... अंतर 1,2,3,4 अगला 16

🟣 भाग 4/5 - श्रेढ़ी का योग

श्रेढ़ी योग के सूत्र शुद्ध:


अग्निवीर में योग वाले प्रश्न 1-2 आते हैं - n=100 तक योग, AP का 10 पदों का योग

🟠 भाग 5/5 - सारांश

सोचिए:
जीवन में अनुक्रम कहाँ?
- जनसंख्या वृद्धि GP, ब्याज GP, सीढ़ियों की ऊँचाई AP, फूलों की पंखुड़ियाँ फिबोनाची

अगला: 8.1 समान्तर श्रेढ़ी, 8.2 गुणोत्तर श्रेढ़ी, प्रश्नावली

🔴 भाग 1/5 - 8.1 अनुक्रम से परिचय

हम अपने चारों ओर सभी स्थानों पर विभिन्न प्रकार के प्रतिरूप अर्थात पैटर्न देखते हैं, चाहे वह प्रकृति में हो, कला में हो, संगीत में हो, वित्त में हो अथवा दैनिक जीवन के कई अन्य संदर्भों में। प्रतिरूप, विश्व को समझने में और आगे क्या आएगा, यह पूर्वानुमान लगाने में सहायता करते हैं। गणित में अनुक्रम, प्रतिरूपों के विशेष प्रकार हैं, जो संख्याओं या अन्य वस्तुओं को एक विशेष क्रम में व्यवस्थित करने पर बनते हैं।

परिभाषा शुद्ध:
अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमिक सूची है, जहाँ प्रत्येक संख्या अनुक्रम का एक पद है।
तीन बिंदु ... यह दर्शाते हैं कि अनुक्रम अपरिमित रूप से चलता रहता है।

उदाहरण जो आप कक्षा 6,7,8 में देख चुके हैं:
1,2,3,4,5,6,... प्राकृत संख्याएँ
1,3,5,7,9,11,... विषम संख्याएँ
1,3,6,10,15,21,... त्रिभुजाकार संख्याएँ
1,4,9,16,25,36,... वर्ग संख्याएँ

अनुक्रम परिमित या अपरिमित हो सकते हैं। ऊपर दिए गए अपरिमित हैं, किंतु 6,12,24,48,96 एक परिमित अनुक्रम है, जिसमें 5 पद हैं।

🔵 भाग 2/5 - संकेतन और योग अनुक्रम

संकेतन शुद्ध:
पहला पद t1, दूसरा t2, तीसरा t3,... nवाँ पद tn
विषम के लिए t1=1, t2=3, t3=5, t4=7
t4=7 बताता है कि चौथी स्थिति पर पद 7 है।
एक से अधिक अनुक्रम हों तो t, s, u का प्रयोग: s1,s2,s3..., u1,u2,u3...

प्रश्न शुद्ध:
अनुक्रम 1,4,7,10,13,... पर विचार कीजिए। क्या आप आगामी चार पदों का पूर्वानुमान लगा सकते हैं? क्या आप इस अनुक्रम में दिए गए पद तक आने वाले सभी पदों का योग करने पर प्राप्त अनुक्रम के पहले 10 पद बना सकते हैं?
संकेत — पहला पद 1 है। दूसरा पद 1+4=5 है, तीसरा पद 1+4+7=12 है और आगे भी इसी प्रकार पद प्राप्त किए जा सकते हैं।
हल: 1,4,7,10,13 अंतर 3 → आगामी 16,19,22,25
योग अनुक्रम: 1,5,12,22,35,51,70,92,117,145...

अनुक्रम के प्रकार शुद्ध:
- पद भिन्न, ऋणात्मक पूर्णांक भी हो सकते हैं
- बढ़ते: 1,2,3... घटते: 1,1/2,1/3,1/4...
- ऋणात्मक: -7,-3,1,5,9... S1=-7 अंतर 4
- tn संकेत में n सदैव प्राकृत संख्या, पर पद कोई भी वास्तविक संख्या

प्रश्न: त्रिभुजाकार अनुक्रम हेतु t5,t6,t7,t8 लिखिए?
उत्तर: t5=15, t6=21, t7=28, t8=36 (n(n+1)/2)

🟢 भाग 3/5 - 8.2 व्यापक सूत्र

संकेत tn का उपयोग करते हुए हम किसी अनुक्रम की nवीं स्थिति पर स्थित पद अर्थात nवें पद के लिए एक व्यापक सूत्र लिख सकते हैं। व्यापक सूत्र से पद का मान ज्ञात करने के लिए पद की स्थिति संख्या n का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण 1 शुद्ध: व्यंजक un=2n-1 पर विचार कीजिए। यह व्यंजक बताता है कि अनुक्रम का nवाँ पद 2n-1 सूत्र द्वारा दिया जाता है। जब हम व्यंजक 2n-1 में n को 1,2,3,... से विस्थापित करते हैं, तो हमें u1=2×1-1=1, u2=2×2-1=3, u3=2×3-1=5 आदि प्राप्त होते हैं। इस प्रकार, un=2n-1 विषम संख्याओं के अनुक्रम के nवें पद के लिए व्यापक सूत्र है।


53वाँ विषम: u53=2×53-1=105, u108=215, u1170=2339
137 कौन सी स्थिति? 2n-1=137 → n=69 → 69वाँ पद

उदाहरण 2 शुद्ध: sn=5n-2 द्वारा बनाया अनुक्रम। प्रथम 6 पद लिखिए? 100वाँ? 1000वाँ? 308 और 473 पद हैं?
s1=3, s2=8, s3=13, s4=18, s5=23, s6=28 (AP d=5)
s100=498, s1000=4998
308: 5n-2=308 → n=62 → 62वाँ पद है
471: 5n-2=471 → 5n=473 → n=94.6 प्राकृत नहीं → पद नहीं
n को प्राकृत होना चाहिए क्योंकि पद-संख्या प्राकृत होती है।

🟣 भाग 4/5 - 8.3 पुनरावर्ती सूत्र

अब तक हमने nवें पद के लिए व्यापक सूत्र में n के पदों में एक सूत्र का उपयोग किया है। अनुक्रम के लिए सूत्र लिखने के अन्य प्रकार भी हैं। अनुक्रम 1,4,7,10,13,... पर विचार कीजिए। इसका nवाँ पद tn=3n-2 है। ध्यान दीजिए कि प्रत्येक पद अपने पूर्व पद से 3 अधिक है। t2=t1+3, t3=t2+3, t4=t3+3। व्यापक रूप में tn=tn-1+3, जहाँ n≥2 है अथवा t1=1, tn=tn-1+3। इस प्रकार किसी अनुक्रम के पदों को उनसे पहले आए पदों से संबद्ध करते हुए अनुक्रम की व्याख्या करना पुनरावर्ती सूत्र कहलाता है।

उदाहरण 3 शुद्ध: u1=1, un=2un-1+3, जब n≥2 हो। प्रथम चार पद? क्या 133 पद है?
u2=2×1+3=5
u3=2×5+3=13
u4=2×13+3=29
प्रथम चार 1,5,13,29। आगे u5=61, u6=125, u7=253 → 133 पद नहीं (125 और 253 के बीच)

उदाहरण 4 शुद्ध: s1=3, sn=sn-1(sn-1-1), जहाँ n≥2
s2=3×2=6
s3=6×5=30
s4=30×29=870
प्रथम चार 3,6,30,870

विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम शुद्ध:
किसी भी पुनरावर्ती सूत्र में केवल एक ही पूर्व पद सम्मिलित नहीं होता, दो या दो से अधिक पूर्व पद सम्मिलित हो सकते हैं। सबसे प्रसिद्ध उदाहरण V1,V2,V3,... है, जहाँ V1=1, V2=2 और Vn=Vn-1+Vn-2, जब n≥3 हो।
V3=3, V4=5, V5=8 → 1,2,3,5,8,13,21,34,...
प्रत्येक पद पूर्व के दो पदों का योग। आगामी दो 55,89।
यह विरहांक-फिबोनाची अनुक्रम है! सर्वप्रथम आचार्य विरहांक द्वारा सातवीं शताब्दी में वृत्तजाति समुच्चय में लिखा गया। उन्होंने इसका अन्वेषण प्राकृत मीटर और कविता के संदर्भ में किया था। इसका विस्तृत अध्ययन भाषाविद-गणितज्ञ गोपाल (लगभग 1135) और हेमचंद्र (लगभग 1150) द्वारा किया गया। आगे चलकर इटली के गणितज्ञ फिबोनाची (लगभग 1200) द्वारा भी अध्ययन किया गया।

🟠 भाग 5/5 - सारांश सूत्र FINAL

प्रश्न: व्यंजक tn=3n-7 (i) पहला, दूसरा, तीसरा, 12वाँ, 18वाँ, 50वाँ पद ज्ञात कीजिए (ii) कौन सा पद 332 है? (iii) क्या 557 पद है?
हल: (i) t1=-4, t2=-1, t3=2, t12=29, t18=47, t50=143
(ii) 3n-7=332→n=113 →113वाँ पद
(iii) 3n-7=557→n=188 → हाँ 188वाँ पद

🔴 भाग 1/4 - Q1 Q2 Q3

Q1. उस अनुक्रम के प्रथम पाँच पदों को ज्ञात कीजिए, जिसका nवाँ पद निम्नलिखित प्रकार से दिया गया है— (i) tn=3n-4 (ii) tn=2-5n (iii) tn=n²-2n+3 जहाँ n≥1 हो।
हल:
(i) tn=3n-4
t1=-1, t2=2, t3=5, t4=8, t5=11 → -1,2,5,8,11

(ii) tn=2-5n
t1=-3, t2=-8, t3=-13, t4=-18, t5=-23 → -3,-8,-13,-18,-23

(iii) tn=n²-2n+3
t1=1-2+3=2, t2=4-4+3=3, t3=9-6+3=6, t4=16-8+3=11, t5=25-10+3=18
→ 2,3,6,11,18

Q2. अनुक्रम tn=5n-3 हो, जबकि n≥1 के 10वें एवं 15वें पदों को ज्ञात कीजिए।
t10=50-3=47, t15=75-3=72
उत्तर t10=47, t15=72

Q3. निर्धारित कीजिए कि क्या 97 और 172 अनुक्रम tn=5n-3 के पद हैं, जबकि n≥1 है।
5n-3=97→5n=100→n=20 → हाँ 20वाँ पद
5n-3=172→5n=175→n=35 → हाँ 35वाँ पद
उत्तर दोनों पद हैं 20वाँ और 35वाँ

🔵 भाग 2/4 - Q4 Q5

Q4. अनुक्रम tn=5n-3 जहाँ n≥1 है, में कौन-सा पद 607 है?
5n-3=607→5n=610→n=122
उत्तर 122वाँ पद

Q5. एक अनुक्रम t1=-5, tn+1=tn+3 पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दर्शाया जाता है, जब n≥1 हो। अनुक्रम के प्रथम पाँच पद ज्ञात कीजिए। क्या इस अनुक्रम का एक पद 52 है? यदि हाँ, तो यह अनुक्रम का कौन-सा पद है?
हल:
t1=-5
t2=t1+3=-2
t3=t2+3=1
t4=t3+3=4
t5=t4+3=7
→ -5,-2,1,4,7 AP d=3
व्यापक सूत्र tn = -5+(n-1)3 =3n-8
52 है? 3n-8=52→3n=60→n=20 → हाँ 20वाँ पद
उत्तर प्रथम पाँच -5,-2,1,4,7, 52 20वाँ पद

🟢 भाग 3/4 - Q6 ट्रिबोनाची

Q6. मान लीजिए, T1=1, T2=2, T3=4 और Tn=Tn-1+Tn-2+Tn-3 हो, जबकि n≥4 है। T4,T5,T6,T7 और T8 ज्ञात कीजिए।
हल: ट्रिबोनाची जैसा - तीन पदों का योग
T1=1
T2=2
T3=4
T4=T3+T2+T1=4+2+1=7
T5=T4+T3+T2=7+4+2=13
T6=T5+T4+T3=13+7+4=24
T7=T6+T5+T4=24+13+7=44
T8=T7+T6+T5=44+24+13=81

उत्तर T4=7, T5=13, T6=24, T7=44, T8=81
अनुक्रम: 1,2,4,7,13,24,44,81,...

🟣 भाग 4/4 - FINAL सार

🔴 भाग 1/5 - 8.4 समान्तर श्रेढ़ी परिचय

अब तक हमने अध्ययन किया कि अनुक्रम, संख्याओं की ऐसी क्रमिक सूची है, जो किसी विशेष सूत्र का पालन करती है। यद्यपि, ऐसे अनुक्रम भी हो सकते हैं, जैसे कि अभाज्य संख्याओं का अनुक्रम, जिसके सूत्र में कोई नियमितता नहीं होती।
हम इस अनुभाग में, एक विशेष प्रकार के अनुक्रमों का अन्वेषण करेंगे, जो समान्तर श्रेढ़ी कहलाते हैं।

चित्र 8.3 वर्गों का बढ़ता हुआ प्रतिरूप:
चरण 1 2 3 4 में छोटे वर्गों की संख्या 1,5,9,13 प्राप्त होती है।
प्रत्येक चरण में पिछले चरण के प्रतिरूप के कोने के बिंदुओं से 4 वर्ग जुड़ जाते हैं।
आगामी चरणों में वर्गों की संख्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है—
1, 1+4, 1+4+4, 1+4+4+4,...
इसे पुन: 1, 1+1×4, 1+2×4, 1+3×4,...
nवाँ पद tn = 1+(n-1)×4 =4n-3
प्रथम छह पद 1,5,9,13,17,21 अंतर अचर 4

🔵 भाग 2/5 - AP सूत्र

ध्यान दीजिए कि ऊपर दिए गए अनुक्रम के nवें पद tn=1+(n-1)×4 में 1 प्रथम पद है और 4 सार्व अंतर है। इसी प्रकार, अनुक्रम 1,4,7,10,... का nवाँ पद tn=1+(n-1)×3 है, जिसमें 1 प्रथम पद और 3 सार्व अंतर। अनुक्रम 11,7,3,-1,-5,... में संख्याओं में 4 की कमी होती जाती है। यह भी AP है, प्रथम पद 11 और सार्व अंतर -4।


प्रश्न: सत्यापित कीजिए कि नीचे दिए गए अनुक्रम समान्तर श्रेढ़ियाँ हैं और उनके nवें पद लिखिए। क्रमित युग्मों को आलेख पर प्रदर्शित करने पर आप क्या अवलोकन करते हैं?
(i) 2,5,8,11,... (ii) -5,-1,3,7,...
हल: (i) d=3 AP tn=2+(n-1)3=3n-1, बिंदु (1,2)(2,5)(3,8) सरल रेखा पर
(ii) d=4 AP tn=-5+(n-1)4=4n-9, बिंदु सरल रेखा पर
निष्कर्ष: AP के बिंदु हमेशा सरल रेखा पर होते हैं - रैखिक प्रतिरूप

8.4.1 AP का दृश्यांकन शुद्ध:
चरण संख्या 1 2 3 4 5 ... n
वर्गों की संख्या 1 5 9 13 17 ... 4n-3
क्रमित युग्म (1,1)(2,5)(3,9)(4,13)(5,17) आलेख पर सरल रेखा पर - चित्र 8.4

🟢 भाग 3/5 - AP प्रश्न और उदाहरण 5

प्रश्न: सूत्र tn=a+(n-1)d का उपयोग करते हुए नीचे दी गई समान्तर श्रेढ़ियों के nवें पद ज्ञात कीजिए।
(i) 1/2,5/2,9/2,13/2,... (ii) 1.5,3.5,5.5,7.5,...
हल: (i) a=1/2 d=2 tn=1/2+(n-1)2=2n-3/2
(ii) a=1.5 d=2 tn=1.5+(n-1)2=2n-0.5

ध्यान दीजिए tn=a+(n-1)d व्यापक सूत्र है। पुनरावर्ती सूत्र t1=a, tn=tn-1+d जब n≥2
AP 1,5,9,13,17,... को t1=1, tn=tn-1+4

उदाहरण 5 शुद्ध: एक व्यक्ति शहर में घूमने के लिए टैक्सी किराए पर लेता है। टैक्सी कंपनी एक निश्चित आरक्षित शुल्क ₹200 लेती है और ₹40 प्रत्येक किमी यात्रा के लिए लेती है। 1 किमी,2 किमी,3 किमी आदि यात्रा के लिए कुल किराए को दर्शाने वाला अनुक्रम लिखिए। यदि वह व्यक्ति 10 किमी लंबी यात्रा करता है तो कुल किराया कितना होगा?
1 किमी बाद ₹200+₹40=₹240, 2 किमी ₹280, 3 किमी ₹320... AP 240,280,320... a=240 d=40
nवाँ पद 240+(n-1)40=200+40n, जहाँ n किमी में तय यात्रा
10 किमी: 200+400=₹600
उत्तर ₹600

🟣 भाग 4/5 - 8.5 प्रथम n प्राकृत योग

इस अनुभाग में, हम प्रथम n प्राकृत संख्याओं के योग के लिए एक सरल किंतु महत्वपूर्ण सूत्र का निगमन करेंगे।

विधि शुद्ध: मान लीजिए S प्रथम दस प्राकृत संख्याओं के योग को दर्शाता है।
S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
S=10+9+8+7+6+5+4+3+2+1 (व्युत्क्रम)
प्रत्येक युग्म योग 11 → 2S=11×10=110 → S=55

इसी विधि द्वारा 1+2+3+...+100 → 2S=101×100 → S=5050


चित्र 8.5 में 1+2+3+4+5+6 योग: 2×(योग)=7×6 → आयताकार व्यवस्था
2×(1..10)=10×11

यह परिणाम प्रथम ज्ञात लिखित उल्लेख आर्यभट्ट के ग्रंथ आर्यभटीय के अध्याय 2 के छंद 19 में देखा जा सकता है - योग की गणना पहले और अंतिम पदों के योग को दो से विभाजित करके (औसत) और पदों की संख्या से गुणा करके की जा सकती है।

🟠 भाग 5/5 - योग का उपयोग

उपयोग शुद्ध:
क्या आप सूत्र का उपयोग S20, S50, S1000 ज्ञात करने के लिए कर सकते हैं?
S20=20×21/2=210
S50=50×51/2=1275
S1000=1000×1001/2=500500

क्रमागत संख्याओं का योग जैसे 25+26+...+58:
= (1+...+58)-(1+...+24) =S58-S24
=58×59/2 -24×25/2 =29×59-12×25=1711-300=1411

त्रिभुजाकार संख्याएँ: 1,3,6,10,15,... अनुक्रम tn पर पुन: विचार। इसका nवाँ पद प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योग है।
tn=n(n+1)/2
10वीं=55, 17वीं=153, 80वीं=3240

🔴 भाग 1/4 - Q1 Q2 Q3

Q1. समान्तर श्रेढ़ी 3,8,13,18,... के 10वें और 26वें पद ज्ञात कीजिए।
a=3 d=5 tn=a+(n-1)d
t10=3+9×5=3+45=48
t26=3+25×5=3+125=128
उत्तर 48 और 128

Q2. समान्तर श्रेढ़ी 21,18,15,... का कौन-सा पद -81 है? साथ ही क्या 0 इस समान्तर श्रेढ़ी का एक पद है? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
a=21 d=-3
tn=21+(n-1)(-3)=24-3n
-81=24-3n→3n=105→n=35 → 35वाँ पद -81
0=24-3n→3n=24→n=8 → 8वाँ पद 0 हाँ पद है
उत्तर 35वाँ पद -81, 0 8वाँ पद हाँ है क्योंकि n=8 प्राकृत

Q3. समान्तर श्रेढ़ी 11,8,5,2,... का nवाँ पद ज्ञात कीजिए। इस श्रेढ़ी के लिए पुनरावर्ती सूत्र लिखिए।
a=11 d=-3
tn=11+(n-1)(-3)=14-3n
पुनरावर्ती: t1=11, tn=tn-1-3 n≥2
उत्तर tn=14-3n, t1=11 tn=tn-1-3

🔵 भाग 2/4 - Q4 Q5

Q4. एक समान्तर श्रेढ़ी में 50 पद हैं यदि श्रेढ़ी का तीसरा पद 12 और अंतिम पद 106 है तो इसका 29वाँ पद ज्ञात कीजिए। (संकेत— यदि ‘a’ प्रथम पद हो तथा ‘d’ सार्व अंतर हो, तब हमें दो समीकरण a+2d=12 और a+49d=106 प्राप्त होता है। रैखिक समीकरणों के इस युग्म को ‘a’ तथा ‘d’ के लिए हल कीजिए)।
a+2d=12...(1)
a+49d=106...(2)
(2)-(1): 47d=94→d=2
a=12-4=8
t29=a+28d=8+56=64
उत्तर 64

Q5. कितनी 2-अंकीय संख्याएँ 3 से विभाज्य हैं? इन सभी 2-अंकीय संख्याओं का योगफल क्या है?
2-अंकीय 10 से 99, 3 से विभाज्य पहली 12 अंतिम 99
AP 12,15,18,...,99
a=12 d=3 tn=99=12+(n-1)3→3n-3=87→n=30 → 30 संख्याएँ
योग Sn=n/2(a+l)=30/2(12+99)=15×111=1665
उत्तर 30 संख्याएँ योग 1665

🟢 भाग 3/4 - Q6 Q7

Q6. हरीश ने कोई कार्य (नौकरी) ₹5,00,000 वार्षिक आय से प्रारंभ की और प्रतिवर्ष ₹20,000 वेतन-वृद्धि के रूप में प्राप्त किए। कितने वर्षों के बाद उसकी आमदनी ₹7,00,000 हुई होगी?
AP a=5,00,000 d=20,000
tn=5,00,000+(n-1)20,000=7,00,000
(n-1)20,000=2,00,000→n-1=10→n=11
उत्तर 11वें वर्ष में (10 वर्ष बाद) 7 लाख

Q7. एक बच्चा कंचों को पंक्तियों में इस प्रकार व्यवस्थित करता है कि पहली पंक्ति में 1 कंचा है, दूसरी पंक्ति में 2 कंचे हैं, तीसरी पंक्ति में 3 कंचे हैं तथा इसी प्रकार से 25वीं पंक्ति तक कंचे रखे गए हैं। बच्चा इनमें कुल कितने कंचों का उपयोग करता है?
1+2+3+...+25 = S25 =25×26/2=325
उत्तर 325 कंचे - त्रिभुजाकार 25वीं संख्या

🟣 भाग 4/4 - सारांश

सूत्र याद:
AP tn=a+(n-1)d
Sn=n/2(a+l)
nवाँ पद 3n-1 आदि

🔴 भाग 1/6 - GP परिचय

इस अनुभाग में, हम एक अन्य विशेष प्रकार के अनुक्रम का अन्वेषण करेंगे, जो गुणोत्तर श्रेढ़ी कहलाता है। चित्र 8.6 में प्रदर्शित वर्गों के बढ़ते प्रतिरूप पर विचार कीजिए। चित्र में प्रतिरूप के प्रथम चार चरण प्रदर्शित किए गए हैं। यदि हम प्रतिरूप के चार चरणों में हरे वर्गों की कुल संख्या गिनते हैं, तो हमें अनुक्रम 3,6,12,24 प्राप्त होता है।

हम देखते हैं कि प्रत्येक चरण में, वर्गों की संख्या पिछले चरण में वर्गों की संख्या की दोगुनी है। आगामी चरणों में वर्गों की संख्या 3, 3+3=6, 6+6=12, 12+12=24,... है।
इसे पुन: 3, 3×2, 3×4, 3×8,... या 3, 3×2, 3×2², 3×2³,...
nवाँ पद tn=3×2^(n-1)
पुनरावर्ती t1=3, tn=2tn-1 n≥2
प्रथम छ: पद 3,6,12,24,48,96

🔵 भाग 2/6 - उदाहरण 6-9

उदाहरण 6— क्या 1,2,4,8,16,... एक GP है? यदि हाँ तो r क्या?
हाँ r=2, a=1 tn=2^(n-1)

उदाहरण 7— 1,3,9,27,81,... GP?
हाँ r=3 tn=3^(n-1)

उदाहरण 8— 1,-1,1,-1,1,... GP?
हाँ r=-1 tn=(-1)^(n-1)

उदाहरण 9 शुद्ध: जाँच कीजिए क्या अनुक्रम 5,15/4,45/16,135/64,... एक GP है। इसका nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
t1=5, t2=15/4, t3=45/16, t4=135/64
t2/t1=15/4÷5=3/4
t3/t2=45/16÷15/4=3/4
t4/t3=135/64÷45/16=3/4 → अनुपात अचर 3/4
अतः GP a=5 r=3/4, nवाँ पद=5×(3/4)^(n-1)

प्रश्न: जाँचिए क्या नीचे दिए गए अनुक्रम GP हैं और उनके nवें पद ज्ञात कीजिए।
(i) 2,10,50,250,... r=5 tn=2×5^(n-1) हाँ GP
(ii) 4,8/3,16/9,32/27,... r=2/3 tn=4×(2/3)^(n-1) हाँ
(iii) 3,-3/2,3/4,-3/8,... r=-1/2 tn=3×(-1/2)^(n-1) हाँ

प्रश्न: क्या आप सूत्र tn=3×10^(n-1) के लिए पुनरावर्ती सूत्र का पता लगा सकते हैं, जिससे GP 3,30,300,3000,... बनती है?
t1=3, tn=10×tn-1 n≥2

🟢 भाग 3/6 - फ्रैक्टल सिरपिन्स्की

कक्षा 8 की गणित पाठ्यपुस्तक से अन्य रोचक प्रतिरूप का स्मरण कीजिए जैसा कि चित्र 8.7 में दर्शाया गया है। चरण 0 समबाहु त्रिभुज के आकार में काटे गए एक कागज के टुकड़े को दर्शाता है। आइए त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाते हैं, जिससे चार छोटे समबाहु त्रिभुज प्राप्त होते हैं। अब मध्य में स्थित त्रिभुज को हटा दीजिए। आपको चरण 1 में दर्शाया चित्र प्राप्त होगा जिसके मध्य में त्रिभुजाकार रिक्त होगी। इसी प्रक्रिया को चरण 1 में सभी तीन काले त्रिभुजों पर दोहराइए। इससे आपको चरण 2 में प्रदर्शित चित्र प्राप्त होगा। इसी विधि से हम चरण 2 से चरण 3 तक पहुँचते हैं। इस प्रक्रिया को निरंतर जारी रखा जा सकता है। इस आकर्षक प्रतिरूप को सिरपिन्स्की त्रिभुज कहा जाता है। वास्तव में यह एक फ्रैक्टल है।

वाक्लाव सिरपिन्स्की (1882–1969) एक पोलिश गणितज्ञ, जिन्हें गणित में उनके अनेक योगदानों के लिए जाना जाता है, जिसमें सिरपिन्स्की गास्केट भी सम्मिलित है, जो फ्रैक्टल्स के सबसे प्रारंभिक और सबसे प्रसिद्ध उदाहरणों में से एक है।

सोचिए और विचार कीजिए:
(क) चित्र 8.7 में चरण 0 से चरण 3 तक कितने काले त्रिभुज हैं?
(ख) क्या आप चरण 4 और 5 में काले त्रिभुजों की संख्या का पूर्वानुमान लगा सकते हैं?
(ग) क्या आप nवें चरण में काले त्रिभुजों की संख्या के लिए सूत्र ज्ञात कर सकते हैं?
(घ) मान लीजिए चरण 0 में त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है। चरण 1,2,3 में काले क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है? चरण 4,5 में? nवें चरण में?

हल शुद्ध:
चरण 0,1,2,3 में काले त्रिभुजों की संख्या क्रमशः 1,3,9,27 है। प्रत्येक चरण में प्रत्येक काला त्रिभुज अगले चरण में तीन छोटे त्रिभुजों से विस्थापित किया जाता है। प्रत्येक चरण में काले त्रिभुजों की संख्या पिछले चरण से तीन गुना।
चरण 4=81, चरण5=243
अनुक्रम 1,3,9,27,81,243,... GP r=3, सभी पद 3 की घातें 3^0,3^1,3^2... घात चरण संख्या के बराबर। nवें चरण में काले त्रिभुजों की संख्या 3^n

🟣 भाग 4/6 - क्षेत्रफल GP

क्षेत्रफल शुद्ध:
चरण 0 में काला क्षेत्र 1
चरण 1 में त्रिभुज 4 समान भागों में बाँटा मध्य हटा → काला 3/4
चरण 2 में काला चरण 1 का 3/4 भाग → 3/4×3/4=(3/4)²
nवें चरण में काला क्षेत्र (3/4)^n

प्रत्येक चरण में काले क्षेत्र के क्षेत्रफल से GP प्राप्त होती है, जिसमें अनुक्रम का प्रत्येक उत्तरोत्तर पद पिछले पद को 3/4 से गुणा करने पर प्राप्त किया जाता है। काले त्रिभुजों की संख्या तीव्रता से बढ़ने के साथ त्रिभुजों का कुल क्षेत्रफल घटता है।


व्यापक सूत्र tn=3^n और sn=(3/4)^n
पुनरावर्ती t1=1 tn=3×tn-1 n≥2 और s1=1 sn=3/4×sn-1
फ्रैक्टल्स वे आकृतियाँ या प्रतिरूप हैं जिनका वही रूप विभिन्न स्तरों पर बार-बार दिखाई देता है। फ्रैक्टल्स प्रकृति में सभी जगह पाए जाते हैं - वृक्षों की शाखाओं में, फूलगोभी या ब्रोकोली में, हिमकणों में या तटीय रेखाओं में।

🟠 भाग 5/6 - GP दृश्यांकन और उदाहरण 10

चित्र 8.6 में वर्गों के बढ़ते प्रतिरूप को पुन: देखिए - चरण 1 2 3 4 5 ... n, वर्गों की संख्या 3 6 12 24 48 ... 3×2^(n-1)
युग्म (1,3)(2,6)(3,12)(4,24)(5,48) आलेख पर सरल रेखा पर नहीं हैं - चित्र 8.9 GP बिंदु सरल रेखा पर नहीं, तीव्र वृद्धि
सिरपिन्स्की त्रिभुज में काले त्रिभुजों की संख्या बहुत तीव्रता से बढ़ती है जबकि काले क्षेत्र का क्षेत्रफल कम होकर 0 के निकट - चित्र 8.10

उदाहरण 10 शुद्ध: एक गेंद भूमि से 24 फुट ऊँचाई से गिराई जाती है। प्रत्येक बार गेंद भूमि से टकराकर इसकी पिछली ऊँचाई के 3/4 भाग ऊँचाई तक ऊपर जाती है।
(क) गेंद के पाँच उछालों में गेंद को प्राप्त ऊँचाइयों का अनुक्रम लिखिए?
(ख) प्रारंभ में गेंद को गिराए जाने की ऊँचाई के 1/6 भाग से कम ऊँचाई तक गेंद के पहुँचने के लिए कितने प्रयासों (उछालों) की आवश्यकता?
हल:
प्रथम उछाल 24×0.75=18 फुट
दूसरी 18×0.75=13.5
तीसरी 13.5×0.75=10.125
चौथी 10.125×0.75=7.59375
पाँचवीं 5.695, छठी 4.27125, सातवीं 3.2034375
ऊँचाइयों का अनुक्रम GP a=18 r=0.75=3/4
GP 18,13.5,10.125,7.594,5.695,4.271,3.203...
प्रारंभिक 24 का 1/6=4 फुट, 7वीं उछाल के बाद 3.20<4 → 7 उछाल बाद 1/6 से कम
उत्तर 7 उछाल

✅ भाग 6/6 - FINAL सार

🔴 भाग 1/4 - Q1-Q4

Q1. उस गुणोत्तर श्रेढ़ी का 12वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका सार्व अनुपात 2 है और 8वाँ पद 192 है।
t8=ar^7=192 r=2→a×128=192→a=1.5
t12=ar^11=1.5×2048=3072
उत्तर 3072

Q2. गुणोत्तर श्रेढ़ी 5,25,125,... का 10वाँ पद तथा nवाँ पद ज्ञात कीजिए।
a=5 r=5 tn=5×5^(n-1)=5^n
t10=5^10=9765625
उत्तर t10=9765625 tn=5^n

Q3. एक अनुक्रम का पुनरावर्ती सूत्र t1=2, tn+1=3tn-2, जबकि n≥1 है। इस अनुक्रम का कौन-सा पद 730 है?
t1=2
t2=3×2-2=4
t3=3×4-2=10
t4=28, t5=82, t6=244, t7=730
उत्तर 7वाँ पद पैटर्न tn=3^(n-1)+1 → 3^6+1=730

Q4. गुणोत्तर श्रेढ़ी 2,6,18,... का कौन-सा पद 4374 है? इस श्रेढ़ी के nवें पद के लिए मानक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए।
a=2 r=3 tn=2×3^(n-1)=4374→3^(n-1)=2187=3^7→n-1=7→n=8
मानक tn=2×3^(n-1), पुनरावर्ती t1=2 tn=3tn-1
उत्तर 8वाँ पद

🔵 भाग 2/4 - Q5 गेंद

Q5. एक गेंद को 80 मीटर की ऊँचाई से गिराया जाता है। भूमि से टकराने के बाद गेंद अपनी प्रारंभिक ऊँचाई के 60% तक भूमि के ऊपर जाती है। इसी प्रकार से गेंद की उछाल जारी रहती है अर्थात प्रत्येक बार गेंद भूमि से टकराकर अपनी पिछली ऊँचाई के 60% तक ऊपर जाती है। (i) 5 उछालों के बाद गेंद कितनी ऊँचाई तक जाती है? (ii) गेंद द्वारा भूमि से छठी बार टकराने तक तय की गई कुल लंबवत दूरी कितनी है?
GP a=80×0.6=48 r=0.6
tn=48×0.6^(n-1)
(i) 5 उछाल t5=48×0.6^4=48×0.1296=6.2208 मी
उत्तर 6.22 मी

(ii) कुल दूरी = प्रारंभिक गिरावट 80 + 2×(प्रथम 5 उछालों का योग ऊपर-नीचे?) प्रश्न छठी बार टकराने तक:
गिरना 80 + ऊपर 48 + नीचे 48 + ऊपर 28.8 + नीचे 28.8 + ऊपर 17.28 + नीचे 17.28 + ऊपर 10.368 + नीचे 10.368 + ऊपर 6.2208 + नीचे 6.2208 =?
सरल: कुल =80 +2×(48+28.8+17.28+10.368+6.2208) +? छठी टकराने तक 5 उछालों का आना-जाना + छठी उछाल? यदि छठी टकराने तक तो 5 उछालों का ऊपर-नीचे:
दूरी =80 +2×S5 जहाँ S5=48(1-0.6^5)/(1-0.6)=48(1-0.07776)/0.4=48×0.92224/0.4=110.6688
कुल=80+2×110.6688=301.3376 मी
यदि 6 उछालों तक ऊपर शामिल तो +3.73248=305.07 मी
उत्तर लगभग 301.34 मी टकराने तक, 305 मी 6वीं उछाल सहित

🟢 भाग 3/4 - Q6 Q7 कारपेट

Q6. अनुक्रम 2,2√2,4,4√2,... का कौन-सा पद 128 है?
a=2 r=√2
tn=2×(√2)^(n-1)=128→(√2)^(n-1)=64=2^6=(√2)^12→n-1=12→n=13
उत्तर 13वाँ पद

Q7. चित्र 8.12 में सिरपिन्स्की वर्ग कारपेट के चरण 0 से 3 तक प्रदर्शित हैं। चरण 0 कागज का एक वर्गाकार पृष्ठ है। चरण 1 की रचना करने के लिए वर्ग की प्रत्येक भुजा को तीन समान भागों में बाँटा गया और सम्मुख भुजाओं के विभाजक बिंदुओं को मिलाने पर नौ छोटे वर्ग प्राप्त होते हैं। तत्पश्चात मध्य में स्थित वर्ग को हटा दिया जाता है और 8 छोटे वर्गों के मध्य एक वर्गाकार रिक्ति शेष रह जाती है। यही प्रक्रिया आठ छोटे छायांकित वर्गों पर दोहराई जाती है, जिससे चरण 2 प्राप्त होता है और आगे भी यही प्रक्रिया जारी रहती है।

(i) चरण 0 से 3 तक कितने लाल वर्ग हैं?
चरण0=1, चरण1=8, चरण2=8×8=64, चरण3=64×8=512

(ii) चरण 4 से 5 में लाल वर्गों की संख्या का पूर्वानुमान?
चरण4=512×8=4096, चरण5=32768

(iii) nवें चरण में लाल वर्गों की संख्या के लिए सूत्र? व्यापक और पुनरावर्ती
व्यापक tn=8^n, चरण0 से n तक? यदि चरण0 को 1 मानें तो चरण n में 8^n
पुनरावर्ती t0=1, tn=8×tn-1

(iv) चरण0 क्षेत्रफल 1। चरण1,2,3 में लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल? चरण4,5? nवें चरण में? व्यापक और पुनरावर्ती। चरण संख्या n बढ़ने के साथ इस क्षेत्रफल में क्या अंतर आता है?
प्रत्येक चरण में 1/9 भाग हटता, 8/9 शेष
चरण0=1
चरण1=8/9≈0.888
चरण2=(8/9)²=64/81≈0.79
चरण3=(8/9)³=512/729≈0.702
चरण4=(8/9)^4≈0.624, चरण5=(8/9)^5≈0.554
व्यापक sn=(8/9)^n
पुनरावर्ती s0=1, sn=8/9×sn-1
n बढ़ने पर क्षेत्रफल घटता है और 0 की ओर जाता है, जबकि वर्गों की संख्या तेजी से बढ़ती है।
उत्तर GP r8 संख्या, r8/9 क्षेत्रफल

🟣 भाग 4/4 - FINAL

🔴 भाग 1/5 - Q1-Q5

Q1. उस समान्तर श्रेढ़ी का 31वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11वाँ पद 38 है और 16वाँ पद 73 है।
a+10d=38, a+15d=73→5d=35→d=7, a=38-70=-32
t31=a+30d=-32+210=178
उत्तर 178

Q2. उस समान्तर श्रेढ़ी का निर्धारण कीजिए, जिसका तीसरा पद 16 है और जिसका 7वाँ पद, 5वें पद से 12 अधिक है।
a+2d=16, (a+6d)=(a+4d)+12→2d=12→d=6, a=16-12=4
AP 4,10,16,22...
उत्तर 4,10,16,22...

Q3. कितनी 3-अंकीय संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
सबसे छोटी 3-अंकीय 7 से विभाज्य 105, सबसे बड़ी 994
AP 105,112...994, d7, 994=105+(n-1)7→889=7(n-1)→n-1=127→n=128
उत्तर 128 संख्याएँ

Q4. 4 के कितने गुणज 10 और 250 के बीच आते हैं?
10-250 बीच 4 के गुणज: पहला 12, अंतिम 248
AP 12,16...248 d4, 248=12+(n-1)4→236=4(n-1)→n-1=59→n=60
उत्तर 60 गुणज

Q5. उस गुणोत्तर श्रेढ़ी की रचना कीजिए, जिसके प्रारंभिक दो पदों का योगफल -4 है और जिसका पाँचवा पद, तीसरे पद का 4 गुना है।
a+ar=-4→a(1+r)=-4, t5=4×t3→ar^4=4ar^2→r²=4→r=±2
यदि r=2: a(3)=-4→a=-4/3 GP -4/3,-8/3,-16/3...
यदि r=-2: a(1-2)=-4→-a=-4→a=4 GP 4,-8,16,-32...
उत्तर r=2 a=-4/3 या r=-2 a=4 दो GP

🔵 भाग 2/5 - Q6-Q8

Q6. 100 को क्रमागत प्राकृत संख्याओं के योग के रूप में लिखने के सभी संभव विधियाँ ज्ञात कीजिए।
क्रमागत योग: k से k+m-1 तक =m/2[2k+m-1]=100
विधियाँ:
9+10+11+12+13+14+15+16=100 (8 पद 9-16)
18+19+20+21+22=100 (5 पद)
100 अकेले भी? पर क्रमागत 2 या अधिक:
हल m(m+2k-1)=200, m के गुणनखंड जो विषम/सम
सभी: 100, 18-22, 9-16
उत्तर 9 से 16 तक और 18 से 22 तक (और 100 स्वयं)

Q7. किसी कल्चर में जीवाणुओं की संख्या प्रत्येक घंटे में दोगुनी हो जाती है। यदि प्रारंभ में कल्चर में 30 जीवाणु विद्यमान थे, तो दूसरे घंटे के अंत में, चौथे घंटे के अंत में और nवें घंटे के अंत में कितने जीवाणु विद्यमान होंगे?
GP a30 r2
1 घंटे बाद 60, 2 घंटे 120, 4 घंटे 480, n घंटे 30×2^n
यदि प्रारंभ 0 घंटे 30 तो t_n=30×2^n
उत्तर 2 घंटे 120, 4 घंटे 480, n घंटे 30×2^n

Q8. किसी समान्तर श्रेढ़ी के चौथे और आठवें पदों का योगफल 24 है और छठे और दसवें पदों का योगफल 44 है। समान्तर श्रेढ़ी के पहले तीन पद ज्ञात कीजिए।
t4+t8= (a+3d)+(a+7d)=2a+10d=24→a+5d=12
t6+t10= (a+5d)+(a+9d)=2a+14d=44→a+7d=22
2d=10→d=5, a=12-25=-13
पहले तीन -13,-8,-3
उत्तर -13,-8,-3 AP

🟢 भाग 3/5 - Q9-Q12

Q9. n का वह न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए, जिससे प्रथम n प्राकृत संख्याओं का योगफल 1,000 से अधिक हो।
n(n+1)/2>1000→n²+n-2000>0
n≈44: 44×45/2=990<1000, 45×46/2=1035>1000
उत्तर n=45

Q10. गुणोत्तर श्रेढ़ी 2,8,32,... का कौन-सा पद 131072 है? nवें पद के लिए व्यापक सूत्र और पुनरावर्ती सूत्र भी लिखिए।
a2 r4 tn=2×4^(n-1)=2^(2n-1)=131072=2^17→2n-1=17→n=9
व्यापक tn=2×4^(n-1), पुनरावर्ती t1=2 tn=4tn-1
उत्तर 9वाँ पद

Q11. एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदों का योगफल 13/12 है और उनका गुणनफल -1 है। श्रेढ़ी का सार्व अनुपात और पद ज्ञात कीजिए।
माना a/r, a, ar → गुणनफल a³=-1→a=-1
योग -1/r -1 -r =13/12→-(1/r+r+1)=13/12→1/r+r= -25/12
r+1/r=-25/12→12r²+25r+12=0→(3r+4)(4r+3)=0→r=-4/3 या -3/4
पद: r=-4/3 → 3/4,-1,4/3 ; r=-3/4 → 4/3,-1,3/4
उत्तर r=-4/3 या -3/4 पद 3/4,-1,4/3

Q12. यदि किसी गुणोत्तर श्रेढ़ी का चौथा, दसवाँ और सोलहवाँ पद क्रमशः x,y,z है। सिद्ध कीजिए कि x,y,z गुणोत्तर श्रेढ़ी में हैं।
t4=ar³=x, t10=ar^9=y, t16=ar^15=z
y²=(ar^9)²=a²r^18, x×z=ar³×ar^15=a²r^18→y²=xz→x,y,z GP
सिद्ध

🟣 भाग 4/5 - Q13-Q15

Q13. एक गुणोत्तर श्रेढ़ी के प्रथम तीन पदों का योगफल 26 है और उन पदों के वर्गों का योगफल 364 है। GP के पदों को ज्ञात कीजिए।
a+ar+ar²=26→a(1+r+r²)=26
a²+a²r²+a²r^4=364→a²(1+r²+r^4)=364
1+r²+r^4=(1+r+r²)(1-r+r²)? नहीं, (r²+r+1)(r²-r+1)=r^4+r²+1
तो a²(r²+r+1)(r²-r+1)=364
माना S=26→a=26/(1+r+r²)
→676(r²-r+1)/(1+r+r²)=364→676r²-676r+676=364+364r+364r²→312r²-1040r+312=0→3r²-10r+3=0→(3r-1)(r-3)=0→r=3 या 1/3
r3→a=2 → 2,6,18 ; r1/3→a=18 →18,6,2
उत्तर 2,6,18 या 18,6,2

Q14. मान लीजिए P1=1, P2=2 है और n>2 के लिए Pn=P1+P2+...+Pn-1+1 है। P1,P2,...,P8 के मान ज्ञात कीजिए। क्या आप Pn के लिए अधिक सरल पुनरावर्ती सूत्र ज्ञात कर सकते हैं? क्या आप एक व्यापक सूत्र बता सकते हैं?
P1=1
P2=2
P3=P1+P2+1=4
P4=1+2+4+1=8
P5=1+2+4+8+1=16
P6=32, P7=64, P8=128
सरल पुनरावर्ती: Pn=2Pn-1 (n>2, P2=2) क्योंकि Pn = (Pn-1-1)+Pn-1+1? जाँच: Pn-1 =P1..Pn-2+1→ Pn=Pn-1+Pn-1=2Pn-1
व्यापक Pn=2^(n-1) (P1=1=2^0)
उत्तर 1,2,4,8,16,32,64,128 Pn=2^(n-1)

Q15. मान लीजिए W1=1, W2=2 और n>2 के लिए Wn=W1+W2+...+Wn-2+2 है। W1,W2,...,W8 के मान ज्ञात कीजिए। क्या आप इस अनुक्रम को पहचानते हैं?
W1=1
W2=2
W3=W1+2=3
W4=W1+W2+2=5
W5=W1+W2+W3+2=8
W6=1+2+3+5+2=13
W7=1+2+3+5+8+2=21
W8=1+2+3+5+8+13+2=34
1,2,3,5,8,13,21,34 → फिबोनाची जैसा (विरहांक-फिबोनाची) W1=1,W2=2, Wn=Wn-1+Wn-2
व्यापक सरल पुनरावर्ती Wn=Wn-1+Wn-2
उत्तर 1,2,3,5,8,13,21,34 फिबोनाची

🟠 भाग 5/5 - FINAL सार

🔴 भाग 1/4 - Q1-Q6

1. अनुक्रम 3,8,13,18,... का 15वाँ पद?
a3 d5 tn=3+(n-1)5 → t15=73 ✅

2. 21,18,15,... का कौन सा पद -81 है?
a21 d-3 24-3n=-81 n35 ✅ 35वाँ

3. AP 11,8,5,2,... का nवाँ पद?
tn=14-3n ✅

4. 2-अंकीय कितनी संख्याएँ 3 से विभाज्य? योग?
12..99 30 संख्याएँ योग 1665 ✅

5. GP 5,25,125... का 6वाँ पद?
5^6=15625 ✅

6. GP 2,6,18... का कौन सा पद 4374?
2×3^(n-1)=4374 n8 ✅

🔵 भाग 2/4 - Q7-Q12

7. प्रथम n प्राकृत योग Sn?
n(n+1)/2 ✅ S100=5050

8. 1+2+...+25?
25×26/2=325 ✅

9. त्रिभुजाकार 10वीं संख्या?
10×11/2=55 ✅

10. वर्ग 1,4,9,16 अगला?
25 ✅ n²

11. फिबोनाची 1,2,3,5,8 अगला दो?
13,21 ✅

12. AP 3,8,13... d?
5 ✅

🟢 भाग 3/4 - Q13-Q18

13. 3-अंकीय कितनी 7 से विभाज्य?
105..994 128 ✅

14. 4 के गुणज 10-250 बीच कितने?
12..248 60 ✅

15. जीवाणु 30 r2 4 घंटे बाद?
30×2^4=480 ✅

16. GP 2,8,32... r?
4 ✅

17. AP में a+10d=38 a+15d=73 d?
7 ✅ t31=178

18. 25..58 योग?
S58-S24=1711-300=1411 ✅

🟠 भाग 4/4 - Q19-Q20 ट्रिक

19. पुनरावर्ती t1=2 tn+1=3tn-2 7वाँ पद 730? सत्य?
2,4,10,28,82,244,730 हाँ ✅

20. सिरपिन्स्की कारपेट r?
संख्या GP r8 tn8^n, क्षेत्रफल r8/9 sn(8/9)^n ✅