*7* | संभावनाओं का गणित — प्रायिकता का परिचय | Mathematics of Chances — Introduction to Probability

🔴 भाग 1/5 - प्रायिकता क्या है?

प्रायिकता क्या है?
हमारे दैनिक जीवन में हम अक्सर ऐसे शब्दों का उपयोग करते हैं— शायद, संभावना है, संभवतः, संदेह है, आदि। इन सभी शब्दों में अनिश्चितता का भाव है। प्रायिकता इसी अनिश्चितता का गणितीय मापन है।

उदाहरण:
- कल बारिश होने की संभावना 70% है।
- सिक्का उछालने पर चित आने की संभावना 1/2 है।
- अग्निवीर में चयन होने की संभावना मेहनत पर निर्भर है।

परिभाषाएँ शुद्ध:
1. यादृच्छिक प्रयोग (Random Experiment): वह प्रयोग जिसके परिणाम पहले से निश्चित न हों, यादृच्छिक प्रयोग कहलाता है। जैसे सिक्का उछालना, पासा फेंकना।

2. प्रतिदर्श समष्टि (Sample Space - S): किसी प्रयोग के सभी संभव परिणामों का समुच्चय।
सिक्का उछालने पर S={H,T}
पासा फेंकने पर S={1,2,3,4,5,6}

3. घटना (Event - E): प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय।
पासा पर सम संख्या आना E={2,4,6}

🔵 भाग 2/5 - प्रायिकता के प्रकार

प्रायिकता की सीमाएँ:
- असंभव घटना की प्रायिकता 0
- निश्चित घटना की प्रायिकता 1
- किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच

प्रायिकता के प्रकार:
1. सैद्धांतिक (Classical): P(E)=n(E)/n(S) - समान रूप से संभावित परिणाम
2. प्रायोगिक (Experimental): प्रयोग करके - P=घटना की आवृत्ति/कुल प्रयोग
3. अभिगृहीतीय (Axiomatic): आधुनिक परिभाषा

समान रूप से संभावित (Equally Likely): सभी परिणामों के आने की संभावना समान। जैसे निष्पक्ष सिक्का, निष्पक्ष पासा।

पूरक घटना: E की पूरक E' = S-E, P(E')=1-P(E)

🟢 भाग 3/5 - सिक्का पासा ताश

सिक्का उछालना:
एक सिक्का: S={H,T}, n=2
P(H)=1/2, P(T)=1/2
दो सिक्के: S={HH,HT,TH,TT}, n=4
तीन सिक्के: n=8

पासा फेंकना:
एक पासा: S={1,2,3,4,5,6}, n=6
सम संख्या P=3/6=1/2
6 आना P=1/6
7 से छोटा? निश्चित P=1
7 से बड़ा? असंभव P=0

दो पासे: कुल परिणाम 36
योग 7 आने की प्रायिकता=6/36=1/6
योग 2 या 12? 1/36+1/36=2/36=1/18

ताश की गड्डी:
कुल 52 पत्ते, 4 रंग - हुकुम, पान, चिड़ी, ईंट (13-13)
लाल 26, काला 26, इक्का 4, बादशाह 4, बेगम 4, गुलाम 4
एक पत्ता निकालने पर:
P(इक्का)=4/52=1/13
P(लाल)=26/52=1/2
P(हुकुम का इक्का)=1/52

🟣 भाग 4/5 - सूत्र और उदाहरण

उदाहरण 1: एक थैले में 3 लाल और 2 काली गेंद, एक गेंद निकालने पर लाल की प्रायिकता?
n(S)=5, n(लाल)=3 =>P=3/5

उदाहरण 2: पासा फेंका, 3 से बड़ी संख्या?
अनुकूल {4,5,6}=3, P=3/6=1/2

उदाहरण 3: दो सिक्के उछाले, कम से कम एक चित?
S={HH,HT,TH,TT}, अनुकूल 3, P=3/4

अग्निवीर में प्रायिकता:
अग्निवीर में 1-2 प्रश्न आते हैं - सिक्का, पासा, ताश, गेंद वाले सरल प्रश्न। सूत्र P=n(E)/n(S) याद रखो।

🟠 भाग 5/5 - सारांश

सोचिए और विचार कीजिए:
जीवन में प्रायिकता कहाँ उपयोग होती है?
- मौसम विभाग, बीमा, खेल, चुनाव, अग्निवीर चयन, लॉटरी, व्यापार में जोखिम

अगला: प्रायिकता के प्रकार, प्रयोग, सैद्धांतिक प्रायिकता, प्रश्नावली 7.1

🔴 भाग 1/5 - प्रायिकता क्या है?

जिस प्रकार हम लंबाई, क्षेत्रफल अथवा आयतन जैसी राशियों को मापते हैं, उसी प्रकार प्रायिकता भी एक प्रकार का मापन है। यद्यपि भौतिक राशियों के स्थान पर प्रायिकता का उपयोग किसी घटना के घटित होने की संभावना के मापन में किया जाता है। विशेष रूप से यह किसी विशेष घटना के होने को लेकर हमारी अनिश्चितता अथवा आत्मविश्वास को व्यक्त करने में सहायता करती है।

उदाहरण के लिए, आप अपने मित्र से पूछ सकते हैं—
• क्या आज वर्षा होने वाली है?
• क्या हमारा विद्यालय कल अंतर्विद्यालय हॉकी प्रतियोगिता में विजयी होगा?
• क्या मैं विद्यालयी सभा में प्रस्तुति देने हेतु मासिक लकी ड्रॉ में चयनित किया जाऊँगा?
[विद्यालय के सभी विद्यार्थियों के नाम कागज की पर्चियों पर लिखे जाते हैं और एक पर्ची यादृच्छिक रूप से चयनित की जाती है।]
ये घटनाएँ यादृच्छिक घटनाओं के उदाहरण हैं। हम इनके संभावित परिणामों से अवगत होते हैं (या तो वर्षा होगी या नहीं होगी; हमारे विद्यालय का दल हॉकी प्रतियोगिता में या तो जीतेगा या हार जाएगा या बराबरी पर रहेगा, विद्यालय-सभा में प्रस्तुति हेतु कोई एक विद्यार्थी अवश्य चयनित होगा)। परंतु हमें यह पूर्व में ज्ञात नहीं होता कि कौन-सा परिणाम निश्चित रूप से प्राप्त होगा अर्थात हर बार ऐसी घटना के घटित होने के अवसर पर संभावना या यादृच्छिकता का एक तत्व उपस्थित रहता है।

कोई भी इन प्रश्नों के विषय में असंभव या निश्चित जैसे शब्दों का उपयोग कर सकता है अथवा कम संभव, अधिक संभव या समान रूप से संभव जैसे वक्तव्यों का उपयोग कर सकता है। यह निर्णय संग्रहित किए गए विभिन्न प्रकार के प्रमाणों पर आधारित होते हैं। उदाहरण के लिए, एक मित्र यह कह सकता है कि “सूरज तेज चमक रहा है इसलिए आज वर्षा की संभावना नहीं है”, जबकि अन्य मित्र अवलोकन के पश्चात कह सकता है कि “आज बहुत गर्मी है तो मेरे विचार से बाद में वर्षा हो सकती है।” दोनों ही स्थितियों में वे अपनी वर्तमान मौसम की स्थिति को आकलित कर वर्षा का अनुमान लगा रहे हैं। यह आज की वर्षा की स्थिति के लिए व्यक्तिनिष्ठ प्रायिकता है।

🔵 भाग 2/5 - अनिश्चितता और प्रायिकता

जैसा कि आप पिछले पृष्ठ पर दिए गए उदाहरण में देख सकते हैं कि प्रायिकता अनिश्चितता अथवा संभावना से संबंधित है। हमारे तेजी से जटिल होते समाज की एक प्रमुख विशेषता यह है कि हमें उन प्रश्नों को हल करना होता है जिनके उत्तर निश्चित नहीं हैं अपितु उन उत्तरों के एक या उससे अधिक संभावित विकल्प होते हैं। इस प्रकार जीवन के अनेक पहलुओं में घटनाओं की प्रायिकता के वस्तुनिष्ठ आकलन को समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है।

इस अध्याय में हम यह अध्ययन करेंगे कि प्रायिकता का आकलन और अधिक वस्तुनिष्ठ विधि अर्थात प्रमाणों के संग्रह की विधि से कैसे कर सकते हैं, जिनका उपयोग किसी घटना की संभावना का वस्तुनिष्ठ आकलन करने के लिए किया जा सके। परंतु सर्वप्रथम हमें यादृच्छिकता और प्रायिकता का पैमाना जैसे कुछ शब्दों और विचारों को समझना चाहिए।

यादृच्छिकता एक ऐसी परिस्थिति या क्रिया (जैसे सिक्के को उछालना अथवा पासा फेंकना) से संबंधित है जहाँ आप यह अनुमान नहीं लगा सकते कि निश्चित रूप से आगे क्या होगा! यद्यपि आप सभी संभावित परिणामों से अवगत हो सकते हैं किंतु आप यह नहीं कह सकते कि कौन-सा परिणाम सुनिश्चित है। उदाहरण के लिए—
• एक सिक्के को उछालना— आप जानते हैं कि परिणाम चित (हेड) या पट (टेल) ही आ सकता है परंतु किसी उछाल में दोनों में से कौन-सा परिणाम आने वाला है, आप निश्चित नहीं कह सकते।
• पासा फेंकना— आप जानते हैं कि संभावित परिणाम 1,2,3,4,5 या 6 हैं परंतु आप यह नहीं जानते कि किसी विशेष अवसर में पासा फेंकने पर कौन-सा अंक आएगा।

ये प्रेक्षण (सामान्यतया प्रायिकता में इन्हें प्रयोग अथवा परीक्षण कहते हैं) अपनी अनिश्चितता के कारण यादृच्छिक कहलाते हैं। पिछले पृष्ठ पर बताया गया लकी ड्रॉ का उदाहरण, यादृच्छिक प्रेक्षण या प्रयोग का एक उदाहरण है क्योंकि इसके परिणाम का पूर्वानुमान नहीं लगाया जा सकता और प्रत्येक विद्यार्थी के चयनित होने की संभावना समान है। कुल मिलाकर आप यह बता सकते हैं कि क्या हो सकता है, न कि क्या होगा।

🟢 भाग 3/5 - सोचिए और यादृच्छिकता का उपयोग

ऐसी अनिश्चितता कभी-कभी उपयोगी हो सकती है! उदाहरण के लिए, एक क्रिकेट प्रतियोगिता में खिलाड़ियों का कौन-सा दल पहले बल्लेबाजी करेगा, यह निर्णय करने के लिए सिक्का उछाला जाना एक न्यायसंगत विधि है। क्या आप व्याख्या कर सकते हैं कि ऐसा क्यों है?
उत्तर: क्योंकि सिक्का निष्पक्ष है, दोनों दलों को समान संभावना 1/2, कोई पक्षपात नहीं, न्यायसंगत।

प्रायिकता गणित की वह शाखा है जिसमें यादृच्छिकता और किसी यादृच्छिक परिस्थिति में एक विशेष परिणाम होने की संभावनाओं का अध्ययन किया जाता है।
उदाहरण के लिए, जब आप सिक्का उछालते हैं तो चित आने की प्रायिकता 1/2 और पट आने की प्रायिकता 1/2 होती है, क्योंकि दोनों समप्रायिक अर्थात समान संभावना वाले परिणाम हैं। एक यादृच्छिक प्रयोग में प्रत्येक परिणाम की संभावना होती है परंतु आप केवल संभावनाओं को ज्ञात कर सकते हैं, सटीक परिणाम को नहीं।

वर्षा जैसी घटना यादृच्छिक इसलिए मानी जाती है क्योंकि यह वायुमंडल में अनेक जटिल कारकों (जैसे— तापमान, आर्द्रता, वायु प्रणाली और दबाव) पर निर्भर करती है और यह इन कारकों के प्रति इतनी संवेदनशील होती है कि पूर्ण निश्चितता से इसका अनुमान लगाना असंभव है। अतः पूर्ण रूप से यह ज्ञात करना असंभव है कि किसी निर्धारित दिन में वर्षा होगी या नहीं। वर्षा में यादृच्छिकता से अभिप्राय है कि वर्षा होने के सटीक स्थान और समय का सही अनुमान नहीं लगाया जा सकता किंतु हम आँकड़ों से निष्कर्षित प्रतिरूप और प्रायिकता के आधार पर विभिन्न स्थानों में वर्षा की प्रायिकता अथवा संभावना का आकलन कर सकते हैं।

आप ₹1 का सिक्का उछालिए और अपने मित्र से इसके परिणाम का अनुमान लगाने को कहिए। क्या आप देखते हैं कि आपका मित्र चित या पट का अनुमान लगा सकता है परंतु निश्चित रूप से परिणाम ज्ञात नहीं कर सकता है? यही यादृच्छिकता है! सभी संभावित परिणाम ज्ञात होते हैं परंतु प्रत्येक विशेष या व्यक्तिगत प्रयास अप्रत्याशित होता है।

🟣 भाग 4/5 - 7.1.2 प्रायिकता का पैमाना

किसी घटना के घटित होने की संभावना को प्रकट करने के लिए प्रायिकता को 0 से 1 तक के पैमाने पर मापा जाता है। यदि आपके विद्यालय द्वारा हॉकी प्रतियोगिता में विजयी होने की प्रायिकता 0.75 है तो इसका आशय यह है कि 75 प्रतिशत संभावना है कि आपका विद्यालय विजयी होगा। इसका अभिप्राय यह है कि आपके विद्यालय के विजयी होने की अधिक संभावना है। यदि हॉकी प्रतियोगिता में आपके विद्यालय के विजयी होने की प्रायिकता 0.5 है तो इसका आशय यह है कि आपके विद्यालय के विजयी होने की संभावना 50 प्रतिशत है। इसका अभिप्राय यह है कि आपके विद्यालय का विजयी होना या न होना समप्रायिक (समान संभावना) है। दूसरी ओर यदि प्रायिकता 0 है तो इसका अर्थ यह है कि विजयी होना असंभव है (जैसे बिना खेले विजयी होना) और यदि प्रायिकता 1 है तो इसका आशय यह है कि आपका विद्यालय निश्चित रूप से विजयी होगा। अधिकांश घटनाओं की प्रायिकता 0 और 1 के मध्य होती है जो यह व्यक्त करता है कि उनके घटित होने की कितनी संभावना है।

ताश के छह पत्तों की एक गड्डी की परिकल्पना कीजिए, जहाँ बैंगनी और हरे पत्तों की संख्या अज्ञात है। गड्डी से बैंगनी रंग के एक पत्ते को निकालने की प्रायिकता असंभव (यदि कोई भी पत्ता बैंगनी रंग का नहीं हो) से निश्चित (यदि सभी पत्ते बैंगनी रंग के हों) तक हो सकती है (चित्र 7.1 देखिए)।
जिस प्रकार बैंगनी रंग के पत्तों की संख्या बढ़ती जाती है, उसी प्रकार गड्डी से एक बैंगनी रंग के पत्ते को चुनने की संभावना प्रायिकता पैमाने पर कम संभावित, समान संभावित से और अधिक संभावित की ओर सहजता के साथ बढ़ती जाती है। यह पैमाना हमें विभिन्न घटनाओं के घटित होने की संभावना को समझने और तुलना करने में सहायता प्रदान करता है, बिल्कुल वैसे ही जैसे हम संख्यारेखा का उपयोग करते हैं!

🟠 भाग 5/5 - उदाहरण और सूत्र शुद्ध

यहाँ घटनाओं और उनके घटित होने की प्रायिकताओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। चित्र 7.1 में प्रायिकता पैमाने के सापेक्ष उदाहरणों को देखिए और समझिए कि प्रायिकता को एक पैमाने पर कैसे मापते हैं।

🔴 भाग 1/3 - पैमाना उदाहरण शुद्ध

- एक सिक्का उछालने पर चित आना - समप्रायिक संभावना— चित या पट आने की संभावना समप्रायिक अर्थात समान है। P=1/2
- ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी से 2 से 10 तक की संख्या वाला कोई एक पत्ता निकालना - अधिक संभावित— ताश के 52 पत्तों की एक गड्डी में 2 से 10 तक की संख्या वाले 36 पत्ते होते हैं। P=36/52=9/13≈0.69
- सभी लाल मिठाइयों के थैले से 1 लाल मिठाई निकालना - निश्चित— सभी मिठाइयाँ लाल हैं। P=1


Q1. निम्नलिखित घटनाओं को एक पैमाने पर 0 (असंभव) से लेकर 1 (निश्चित) तक क्रमबद्ध कीजिए। प्रत्येक घटना को असंभव, कम संभव, समप्रायिक, अधिक संभव और निश्चित में वर्गीकृत कीजिए। कारण बताइए कि आपने प्रत्येक घटना को इस वर्ग में क्यों रखा है।
(i) आगामी सोमवार रविवार के पश्चात आएगा।
(ii) मुंबई में जुलाई महीने में बर्फबारी होगी।
(iii) आज आपकी कक्षा से एक हाथी गुजरेगा।
(iv) कल आप अपने विद्यालय में कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे।

🔵 भाग 2/3 - Q1 उत्तर (i)-(iv)

उत्तर शुद्ध:

(i) आगामी सोमवार रविवार के पश्चात आएगा।
वर्ग: निश्चित - P=1
कारण: सप्ताह का क्रम निश्चित है, रविवार के बाद सोमवार ही आता है, यह कैलेंडर का नियम है।

(ii) मुंबई में जुलाई महीने में बर्फबारी होगी।
वर्ग: असंभव - P≈0
कारण: मुंबई समुद्र तटीय गर्म शहर है, वहाँ तापमान कभी भी हिमांक से नीचे नहीं जाता, जुलाई में मानसून होता है बर्फबारी असंभव है।

(iii) आज आपकी कक्षा से एक हाथी गुजरेगा।
वर्ग: असंभव - P≈0
कारण: सामान्य विद्यालय की कक्षा में हाथी का गुजरना व्यावहारिक रूप से असंभव है, कक्षा का आकार और स्थान इसकी अनुमति नहीं देता।

(iv) कल आप अपने विद्यालय में कम-से-कम एक मित्र का अभिवादन करेंगे।
वर्ग: अधिक संभव - P≈0.9
कारण: विद्यालय में मित्रों से मिलना सामान्य दैनिक क्रिया है, यदि आप विद्यालय जाएंगे तो मित्र से अभिवादन करना बहुत अधिक संभावित है, लगभग निश्चित के करीब।

🟢 भाग 3/3 - पैमाने पर क्रम + अतिरिक्त प्रश्न

पैमाने पर क्रम 0 से 1 तक:

अग्निवीर में इस प्रकार के प्रश्न:
- असंभव P=0 उदाहरण: पासे पर 7 आना, मुंबई में बर्फबारी
- निश्चित P=1 उदाहरण: सूर्य पूर्व से उगना, सोमवार रविवार के बाद
- समप्रायिक P=0.5: सिक्का चित/पट
- अधिक संभव P>0.5: 52 पत्तों में 2-10 वाला पत्ता 36/52

अगले प्रश्न Q2-Q5:
Q2. थैले में लाल/हरी गेंद, प्रायिकता पैमाने पर बताइए
Q3. पासा फेंकना, सम संख्या, 5 से बड़ी आदि
Q4. ताश से पत्ता
Q5. लकी ड्रॉ
सर अगला पेज भेज दीजिए, Q2-Q5 भी शुद्ध कर दूँगा।

🔴 भाग 1/5 - वस्तुनिष्ठ मापन की दो विधियाँ

वस्तुनिष्ठता के दृष्टिकोण से किसी घटना की प्रायिकता मापने की दो प्रमुख विधियाँ हैं—

1. अनुभव से प्राप्त प्रमाणों का उपयोग— इसमें वे आँकड़े सम्मिलित किए जा सकते हैं जो या तो एक प्रयोग को बार-बार दोहराकर संग्रहित किए गए हों अथवा पूर्व के प्रेक्षणों से प्राप्त सांख्यिकीय आँकड़ों का विश्लेषण करके संग्रहित किए गए हों। दोनों ही संदर्भों में संग्रहित प्रमाणों के आधार पर घटना की सापेक्षिक आवृत्ति की गणना करके प्रायिकता का आकलन किया जाता है। हम इसे प्रायोगिक प्रायिकता कहते हैं।

2. सैद्धांतिक विधियों का उपयोग— इस विधि में यह परिकल्पित है कि सभी संभव परिणाम समप्रायिक हैं (जहाँ ऐसा कोई विश्वसनीय कारण उपस्थित नहीं है जिससे किसी एक परिणाम के आने की संभावना दूसरे परिणाम से अधिक है)। तब संभव परिणामों की कुल संख्या के सापेक्ष अनुकूल परिणामों की संख्या के संदर्भ में तर्क देकर प्रायिकता का आकलन किया जाता है। हम इसे सैद्धांतिक प्रायिकता कहते हैं।

🔵 भाग 2/5 - 7.2.1 प्रायोगिक प्रायिकता

प्रयोग करना, प्रायिकता के वस्तुनिष्ठ आकलन के लिए एक अन्य विधि है। एक प्रयोग में, घटना प्रयोग का फल होती है और इसे परिणाम कहा जाता है। एक प्रयोग में सभी संभव परिणामों के समुच्चय को प्रतिदर्श समष्टि (सैंपल स्पेस) कहते हैं।
प्रतिदर्श समष्टि को कोष्ठकों में सूचीबद्ध किया जाता है और इसमें लिखे सभी परिणामों को अल्पविराम द्वारा पृथक किया जाता है।

उदाहरण 1— प्रयोग— एक सिक्का उछाला गया
संभावित परिणाम— चित (H) या पट (T) (चित्र 7.2 देखिए)
प्रतिदर्श समष्टि —{H, T}

प्रयोग— एक पासा फेंका गया
संभावित परिणाम— पासे के ऊपर वाला फलक 1,2,3,4,5 या 6 बिंदुओं को दर्शाता है (चित्र 7.3 देखिए)
प्रतिदर्श समष्टि —{1,2,3,4,5,6}


उदाहरण 2— मान लीजिए, आप एक पासा 50 बार फेंकते हैं और उसमें ठीक 8 बार 4 प्राप्त होता है।
पासे पर 4 प्राप्त होने की प्रायोगिक प्रायिकता 8/50=0.16 अथवा 16% है।
हम यह भी कह सकते हैं कि 4 की सापेक्षिक आवृत्ति 8/50=0.16 है।

सापेक्षिक आवृत्ति आपको सैद्धांतिक पूर्वानुमानों की अपेक्षा वास्तविक आँकड़ों पर आधारित प्रायिकता को समझने में सहायता प्रदान करती है। जब आप प्रेक्षित परिणामों के साथ कार्य कर रहे होते हैं तब यह विशेषतः सांख्यिकी और आँकड़ों के विश्लेषण में उपयोगी होती है।

🟢 भाग 3/5 - सांप सीढ़ी इतिहास + 7.2.2 सैद्धांतिक

साँप-सीढ़ी के खेल का प्रारंभ प्राचीन भारत में हुआ है। यह ज्ञान-चौपड़ नामक पारंपरिक खेल से विकसित हुआ है जिसका उपयोग नैतिक उपकरण के रूप में किया गया था। ज्ञान-चौपड़ का उद्देश्य नैतिक शिक्षा देना था, इसमें प्रत्येक सीढ़ी एक गुण के प्रतीक को प्रस्तुत कर रही है और प्रत्येक साँप एक अवगुण का प्रतिनिधित्व कर रहा है। खेल के दौरान यह अच्छे और बुरे व्यवहार के परिणामों को दर्शाता है। ज्ञान-चौपड़ के विभिन्न रूप भारत के विभिन्न भागों में पाए गए हैं।
चित्र 7.4 — कपड़े पर बना एक जैन ज्ञान-चौपड़ खेल, राष्ट्रीय संग्रहालय (19वीं शताब्दी, भारत)

सैद्धांतिक प्रायिकता में किसी घटना के घटित होने की संभावना का अध्ययन, सभी संभावित परिणामों के समप्रायिक होने के आधार पर किया जाता है। ऐसी अपेक्षा हम एक आदर्श और पूर्णतया न्यायसंगत स्थिति में करते हैं। इस स्थिति में किसी प्रकार के आँकड़े या प्रयोग की आवश्यकता नहीं होती है। सामान्यतया सैद्धांतिक प्रायिकता को P(घटना) अथवा P(परिणाम) के रूप में निरूपित किया जाता है।

उदाहरण 3— यदि आप एक आदर्श षट्फलकीय पासे को फेंकते हैं तो पासे पर 4 प्राप्त होने की सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है?
हल— अनुकूल परिणामों की संख्या=1 (केवल संख्या 4)
सभी संभावित परिणामों की संख्या=6 (1 से लेकर 6 तक)
P(पासे पर 4 प्राप्त होना)=1/6=0.1666...≈0.167 अथवा 16.7%

उदाहरण 4— ‘PROBABILITY’ शब्द से एक अक्षर का यादृच्छिक रूप से चयन किया जाता है। ‘B’ अक्षर के चयनित होने की प्रायिकता क्या है?
हल— अनुकूल=2 (‘PROBABILITY’ शब्द में दो ‘B’ हैं)
कुल=11 (‘PROBABILITY’ शब्द में 11 अक्षर)
P(B)=2/11=0.1818...≈0.182 अथवा 18.2%

🟣 भाग 4/5 - 7.2.3 सांख्यिकीय आँकड़ों का विश्लेषण

सांख्यिकीय आँकड़ों के माध्यम से प्रमाण संग्रह की विधि का उपयोग व्यापार जगत में विपणन, बिक्री का पूर्वानुमान लगाने, बीमा और विज्ञान एवं सामाजिक विज्ञान अनुसंधान में व्यापक रूप से किया जाता है।

उदाहरण 5— मान लीजिए, आप अज्ञात रूप में अपनी कक्षा के 50 विद्यार्थियों के प्रिय फल की सूचना संग्रहित करते हैं। आइए, कल्पना करें कि परिणाम इस प्रकार होंगे— 20 विद्यार्थी आम पसंद करते हैं, 15 विद्यार्थी सेब पसंद करते हैं, 10 विद्यार्थी केला पसंद करते हैं और 5 विद्यार्थी अंगूर पसंद करते हैं।
आइए, एक खेल खेलें! मान लीजिए, हम कक्षा से यादृच्छिक रूप से एक विद्यार्थी का चयन करते हैं और उसके प्रिय फल का अनुमान लगाने का प्रयास करते हैं। उसका प्रिय फल आम होने की प्रायिकता क्या है? सांख्यिकीय प्रायिकता संग्रहित आँकड़ों पर आधारित होती है। अतः चयनित विद्यार्थी का प्रिय फल आम होने का तार्किक आकलन होगा—
अतः कक्षा में यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी का प्रिय फल आम होने की संभावना 0.4 अथवा 40% है।

अब मान लीजिए, आप विद्यार्थियों के प्रिय फलों के आधार पर संपूर्ण विद्यालय के लिए फल क्रय करना चाहते हैं। आपको प्रत्येक प्रकार के फल की मात्रा का अनुमान लगाने की आवश्यकता होगी, जिसे 1500 विद्यार्थियों के संपूर्ण विद्यालय के लिए क्रय करना है। सामान्यतः विद्यालय के सभी विद्यार्थियों अथवा समस्त जनसंख्या से आँकड़े एकत्रित करना अव्यावहारिक होगा। वास्तविक जीवन में सांख्यिकीय प्रायिकता का उपयोग सामान्यतः एक प्रतिदर्श (सैंपल) से एकत्रित आँकड़ों पर आधारित होता है। जनसंख्या अर्थात विद्यालय में कुल विद्यार्थियों की संख्या 1500 है और हमने एक कक्षा से 50 विद्यार्थियों के प्रतिदर्श से प्रमाण संग्रहित किए थे। आम के प्रिय फल होने की प्रायिकता के आकलन की गणना 0.4 की गई थी। अतः इसका अभिप्राय यह होगा कि हमें लगभग 600 आमों (1500 का 40%) को क्रय करने की आवश्यकता होगी और शेष फल, सेब, केला और अंगूर होंगे।

यदि हम अपने आकलन में और अधिक आश्वस्त होना चाहते हैं तो हमें अपेक्षाकृत और अधिक बड़ा प्रतिदर्श चुनना होगा, उदाहरण के लिए, 100 विद्यार्थियों से पूछना और सुनिश्चित करना कि यह आकलन अधिक प्रतिनिधिक हो, जैसे कि विभिन्न कक्षाओं और श्रेणियों के विद्यार्थियों को सम्मिलित करना। सांख्यिकी में इस प्रक्रिया को प्रतिचयन (सैंपलिंग) कहा जाता है।

🟠 भाग 5/5 - प्रतिचयन, बृहत् संख्या नियम, द्यूतकार भ्रम

जब हम प्रतिदर्श से आँकड़े एकत्रित कर रहे होते हैं तो कुछ अन्य महत्वपूर्ण विषयों पर विचार करना होता है, जैसे— आपका प्रतिदर्श कितना बड़ा होना चाहिए और यह कैसे सुनिश्चित किया जाए कि आपका प्रतिदर्श समस्त जनसंख्या का वास्तविक रूप से प्रतिनिधित्व करता है। प्रतिदर्श के आकार और इसकी निष्पक्षता से यह सुनिश्चित होता है कि वह न्यायसंगत है और पक्षपात से मुक्त है और यह अपेक्षाकृत अधिक सटीक परिणाम प्राप्त करने में सहायता प्रदान करता है।

सारांश: प्रायोगिक प्रायिकता, परीक्षणों से संग्रहित वास्तविक आँकड़ों पर आधारित होती है, न कि अनुमानों पर। सैद्धांतिक प्रायिकता परिणामों के समप्रायिक होने के अनुमान (एक पूर्णतया न्यायसंगत परिस्थिति) पर आधारित है और प्रायोगिक आँकड़ों का उपयोग नहीं करती है। यहाँ तक कि पूर्णतया न्यायसंगत परिस्थिति में भी प्रायोगिक प्रायिकता और सैद्धांतिक प्रायिकता में अंतर हो सकता है, विशेषकर उन स्थितियों में जब प्रयासों की संख्या कम हो। प्रयासों की संख्या में वृद्धि होने के साथ प्रायोगिक प्रायिकता का मान सैद्धांतिक प्रायिकता के समीप आता जाता है— यह बृहत् संख्याओं का नियम कहलाता है।

यदि मैं 8 बार निरंतर पासा फेंकने पर सदैव 4 पाता हूँ तो अगली बार 4 आने की प्रायिकता अभी भी केवल ≈0.16 है (माना पासा निष्पक्ष है)। प्रायिकता आपको यह नहीं बताती कि आगे क्या होगा, अपितु दीर्घावधि में क्या होगा, इसका अनुमान लगाती है।

अधिकतर लोग सोचते हैं कि यदि कोई घटना यादृच्छिक रूप से एक श्रृंखला में कई बार घटित होता है (जैसे कि सिक्का उछालने पर लगातार छह बार चित का आना) तो अगली बार उसके विपरीत परिणाम (पट) आने की अधिक संभावना हो जाती है। किंतु वास्तव में पहले जो परिणाम प्राप्त हुए थे, सिक्का उसका कोई हिसाब नहीं रखता। प्रत्येक बार जब भी आप सिक्का उछालते हैं तो चित और पट की संभावना पहली बार सिक्का उछालने के समान ही बनी रहती है। सिक्के की कोई स्मृति नहीं होती है, अतः पूर्व की उछालों से आने वाले परिणाम में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसे द्यूतकार (गेंबलर) का भ्रम कहा जाता है।

उदाहरण: मान लीजिए आप एक मानक सिक्के को उछालते हैं। उस पर लगातार छह बार चित आता है। आप यह अनुभव कर सकते हैं कि अगली बार सिक्का उछालने पर पट आ सकता है, क्योंकि पट कुछ समय के लिए नहीं आया है। जबकि अगली उछाल में पट आने की प्रायिकता अब भी पूर्व के समान ही 50% अथवा 1/2 है। सिक्के में पूर्व की उछालों की कोई स्मृति नहीं होती है।

उदाहरण 6— साँप-सीढ़ी खेल और द्यूतकार का भ्रम
आपने अभी निरंतर तीन बार पासा फेंकने पर तीनों बार 6 प्राप्त किया। अब आप सोचते हैं कि “मैं अभी तीन बार छह प्राप्त कर चुका हूँ तो इसकी कोई संभावना नहीं है कि मैं अगली बार भी 6 प्राप्त करूँगा!” यह विचार ही द्यूतकार का भ्रम है क्योंकि प्रत्येक बार जब पासा फेंका जाता है तो वह एक स्वतंत्र घटना होती है। पासे पर 6 आने की प्रायिकता सदैव ही 1/6≈0.166 अथवा 16.6% होती है। इसमें पूर्व की घटना के आधार पर कोई भी परिवर्तन नहीं होता है।

🔴 भाग 1/5 - प्रश्नावली 7.2 Q1-Q2

Q1. एक शिक्षक विभिन्न रंगों की मिठाइयों के एक बड़े थैले को आपस में मिलाती है और उसमें से यादृच्छिक रूप से 30 मिठाइयों के एक प्रतिदर्श का चयन करती है। वह प्रत्येक रंग की मिठाइयों की गिनती करती है, जिनकी संख्या इस प्रकार है— 10 लाल मिठाइयाँ | 8 हरी मिठाइयाँ | 7 पीली मिठाइयाँ | 5 नीली मिठाइयाँ
(i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक रूप से हरी मिठाई निकालने की प्रायिकता की गणना कीजिए।
(ii) यदि बड़े थैले में कुल 600 मिठाइयाँ हैं तो प्रतिदर्श के परिणामों के आधार पर आकलन कीजिए कि कितनी मिठाइयों के पीले रंग के होने की संभावना है?
हल:
(i) P(हरी)=8/30=4/15≈0.2667=26.67%
(ii) P(पीली)=7/30, 600 में अनुमान=7/30×600=140
उत्तर (i) 4/15≈0.267 (ii) 140 पीली

Q2. एक विद्यालय में सर्वेक्षण कराया गया, जहाँ 40 विद्यार्थियों के एक यादृच्छिक प्रतिदर्श से उनका प्रिय क्लब पूछा गया। प्रतिक्रियाएँ इस प्रकार हैं— 14 विद्यार्थी— विज्ञान क्लब | 11 विद्यार्थी— कला क्लब | 9 विद्यार्थी— खेल क्लब | 6 विद्यार्थी— वाद-विवाद क्लब मान लीजिए कि पूरे विद्यालय में 800 विद्यार्थी हैं। (i) प्रतिदर्श से यादृच्छिक चयनित विद्यार्थी की प्राथमिकता कला क्लब के होने की प्रायिकता क्या है? (ii) प्रतिदर्श के परिणामों का उपयोग करके आकलन कीजिए कि पूरे विद्यालय में कितने विद्यार्थी खेल क्लब को प्राथमिकता देंगे।
हल: (i) P(कला)=11/40=0.275=27.5%
(ii) P(खेल)=9/40, 800 में=9/40×800=180
उत्तर (i) 11/40=0.275 (ii) 180 विद्यार्थी

🔵 भाग 2/5 - Q3-Q4 प्रायोगिक

Q3. एक सिक्के को 20 बार उछालिए और प्रत्येक बार परिणाम को अंकित कीजिए (चित अथवा पट)। (i) आपने कितनी बार चित प्राप्त किया? (ii) आपने कितनी बार पट प्राप्त किया? (iii) चित प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता की गणना कीजिए। (iv) यदि आप सिक्के को एक और बार उछालते हैं तब चित प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
हल: यह प्रायोगिक कार्य है - उदाहरण मानें 12 बार चित, 8 बार पट
(iii) P_exp(चित)=12/20=0.6
(iv) अगली बार सैद्धांतिक P(चित)=1/2=0.5 - सिक्के की कोई स्मृति नहीं, स्वतंत्र घटना
उत्तर (iii) प्रयोग पर निर्भर, उदाहरण 0.6 (iv) सैद्धांतिक 0.5

Q4. कागज से निर्मित एक प्याले को हवा में 100 बार उछालिए। प्रत्येक बार उछालने के पश्चात एक कागज पर यह लिखते जाइए कि प्याला अपने निचले तल पर गिरता है, उल्टा होकर ऊपरी भाग पर गिरता है अथवा अपने पार्श्व पर गिरता है (चित्र 7.5 देखिए)। प्रायोगिक प्रायिकता का उपयोग करके परिणामों की प्रायिकता की गणना कीजिए। चित्र 7.5 — कागज से निर्मित प्याले के गिरने की स्थितियाँ (बाएँ से दाएँ) — तल, उल्टा होकर ऊपरी भाग और पार्श्व भाग
हल: यह भी प्रायोगिक कार्य - मानें 100 में 20 बार तल, 15 बार उल्टा, 65 बार पार्श्व
P(तल)=20/100=0.2, P(उल्टा)=15/100=0.15, P(पार्श्व)=65/100=0.65
यह प्रायोगिक प्रायिकता है, सैद्धांतिक नहीं क्योंकि समप्रायिक नहीं
उत्तर प्रयोग पर निर्भर - 3 स्थितियों का योग 1

🟢 भाग 3/5 - Q5-Q6 + बृहत् संख्या नियम

Q5. एक निष्पक्ष षट्फलकीय पासे को फेंकने पर एक सम संख्या को प्राप्त करने की प्रायिकता क्या है?
हल: S={1,2,3,4,5,6}, सम={2,4,6}, n=3
P=3/6=1/2=0.5=50%
उत्तर 1/2

Q6. मान लीजिए, आप एक षट्फलकीय पासे को 12 बार फेंकते हैं और तीन बार अंक ‘3’ प्राप्त करते हैं। (i) पासे पर ‘3’ आने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है? (ii) पासे पर ‘3’ आने की सैद्धांतिक प्रायिकता क्या है? (iii) इन प्रायिकताओं में भिन्नता क्यों हो सकती है? यदि आप पासे को 60, 600 या 6000 बार फेंकें तो क्या प्राप्त होने की अपेक्षा करेंगे?
हल: (i) P_exp=3/12=1/4=0.25
(ii) P_theo=1/6≈0.1667
(iii) भिन्नता क्योंकि प्रयोग कम बार किया गया, यादृच्छिक उतार-चढ़ाव। बृहत् संख्याओं के नियम से जैसे-जैसे प्रयोग बढ़ेगा (60,600,6000) प्रायोगिक प्रायिकता सैद्धांतिक 1/6 के निकट आएगी। 6000 बार में लगभग 1000 बार 3 आने की अपेक्षा।
उत्तर (i) 1/4 (ii) 1/6 (iii) प्रयोग बढ़ने पर 1/6 के निकट

🟣 भाग 4/5 - 7.3 तत्त्व - प्रतिदर्श समष्टि

स्मरण कीजिए, ‘S’ से निरूपित प्रतिदर्श समष्टि सभी संभावित परिणामों का समुच्चय होता है। प्रत्येक संभावित परिणाम को प्रतिदर्श समष्टि का तत्व कहा जाता है।
- प्रतिदर्श समष्टि ‘S’ में प्रत्येक संभावित परिणाम अवश्य ही सम्मिलित होना चाहिए।
- किसी परिणाम को एक बार से अधिक सूचीबद्ध नहीं किया जाना चाहिए।
- प्रतिदर्श समष्टि में तत्वों की संख्या को प्रतिदर्श आकार कहा जाता है और इसे ‘n(S)’ से निरूपित किया जाता है।

प्रतिदर्श समष्टि के उदाहरण:
1. कल वर्षा होगी, इसके लिए प्रतिदर्श समष्टि S={वर्षा होगी, वर्षा नहीं होगी} और प्रतिदर्श आकार n(S)=2
2. एक प्रतियोगिता अर्थात एक प्रतियोगी दल के संभावित परिणाम के लिए प्रतिदर्श समष्टि S={जीत, हार, ड्रॉ} और n(S)=3
3. एक सिक्का उछालना— प्रयोग— एक बार निष्पक्ष सिक्का उछालना। प्रतिदर्श समष्टि S={चित(H), पट(T)}, आकार 2
4. एक पासा फेंकना— प्रयोग— एक मानकीकृत षट्फलकीय पासा फेंकना। S={1,2,3,4,5,6}, आकार 6
5. दो सिक्कों को उछालना— प्रयोग— एक साथ दो सिक्कों को उछालना। S={HH,HT,TH,TT}, आकार 4

उपरोक्त उदाहरण 1 में जब हमने प्रतिदर्श समष्टि {वर्षा होगी, वर्षा नहीं होगी} का उपयोग किया था तो हमने वर्षा होगी या नहीं होगी, केवल इसी विषय पर विचार किया था। यद्यपि यदि हम वर्षा की विभिन्न मात्राओं, जैसे— फुहार, हल्की वर्षा अथवा भारी वर्षा को सम्मिलित करना चाहते हैं तो हमें अपने प्रतिदर्श समष्टि को {वर्षा नहीं, बूँदा-बाँदी, हल्की वर्षा, भारी वर्षा} में विस्तारित करने की आवश्यकता होगी, जिससे यह प्रश्न के लिए आवश्यक विवरण के स्तर के अनुरूप मेल खाता हो। यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रतिदर्श समष्टि, प्रस्तुत विशेष प्रश्न के अध्ययन के लिए पर्याप्त रूप से विस्तृत हो।

🟠 भाग 5/5 - 7.3.2 घटनाएँ

कोई घटना एक संभावित परिणाम अथवा परिणामों का संयोजन होती है जो तब घटित हो सकती है जब आप कोई यादृच्छिक गतिविधि करते हैं। यह सभी संभावित परिणामों से विशेष परिणामों का चयन करने जैसा है। कोई घटना, एक प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय (सबसेट) होती है।

प्रतिदर्श समष्टि और घटनाओं के उदाहरण:
1. दो सिक्कों को उछालना
- प्रतिदर्श समष्टि — सभी संभावित परिणाम, जैसे— चित-चित, चित-पट, पट-चित, पट-पट। S={HH,HT,TH,TT}
- घटना— ‘कम-से-कम एक सिक्का चित प्रदर्शित करता है।’ E={HH,HT,TH}

2. षट्फलकीय पासा फेंकना
- प्रतिदर्श समष्टि —1 से 6 तक अंकित सभी फलक। S={1,2,3,4,5,6}
- घटना— ‘पासे पर प्राप्त संख्या 4 से अधिक है।’ E={5,6}

3. टोकरी से फल निकालना
- प्रतिदर्श समष्टि — विभिन्न प्रकार के फल जो आप टोकरी से निकाल सकते हैं, जैसे— सेब, केला और संतरा। S={सेब, केला, संतरा}
- घटना— ‘वह फल निकालना जो पीला हो।’ E={केला}

🔴 भाग 1/4 - 7.3.1 प्रतिदर्श समष्टि परिभाषा

स्मरण कीजिए, ‘S’ से निरूपित प्रतिदर्श समष्टि सभी संभावित परिणामों का समुच्चय होता है। प्रत्येक संभावित परिणाम को प्रतिदर्श समष्टि का तत्व कहा जाता है।

- प्रतिदर्श समष्टि ‘S’ में प्रत्येक संभावित परिणाम अवश्य ही सम्मिलित होना चाहिए।
- किसी परिणाम को एक बार से अधिक सूचीबद्ध नहीं किया जाना चाहिए।
- प्रतिदर्श समष्टि में तत्वों की संख्या को प्रतिदर्श आकार कहा जाता है और इसे ‘n(S)’ से निरूपित किया जाता है।

🔵 भाग 2/4 - प्रतिदर्श समष्टि के उदाहरण

प्रतिदर्श समष्टि के उदाहरण:

1. कल वर्षा होगी, इसके लिए प्रतिदर्श समष्टि
S={वर्षा होगी, वर्षा नहीं होगी} और प्रतिदर्श आकार n(S)=2

2. एक प्रतियोगिता अर्थात एक प्रतियोगी दल के संभावित परिणाम के लिए प्रतिदर्श समष्टि
S={जीत, हार, ड्रॉ} और प्रतिदर्श आकार n(S)=3

3. एक सिक्का उछालना—
- प्रयोग— एक बार निष्पक्ष सिक्का उछालना।
- प्रतिदर्श समष्टि — S={चित(H), पट(T)}
- प्रतिदर्श आकार =2

4. एक पासा फेंकना—
- प्रयोग— एक मानकीकृत षट्फलकीय पासा फेंकना।
- प्रतिदर्श समष्टि — S={1,2,3,4,5,6}
- प्रतिदर्श आकार =6

5. दो सिक्कों को उछालना—
- प्रयोग— एक साथ दो सिक्कों को उछालना।
- प्रतिदर्श समष्टि — S={HH,HT,TH,TT}
- प्रतिदर्श आकार =4

🟢 भाग 3/4 - सोचिए और विचार कीजिए

उपरोक्त उदाहरण 1 में जब हमने प्रतिदर्श समष्टि {वर्षा होगी, वर्षा नहीं होगी} का उपयोग किया था तो हमने वर्षा होगी या नहीं होगी, केवल इसी विषय पर विचार किया था। यद्यपि यदि हम वर्षा की विभिन्न मात्राओं, जैसे— फुहार, हल्की वर्षा अथवा भारी वर्षा को सम्मिलित करना चाहते हैं तो हमें अपने प्रतिदर्श समष्टि को {वर्षा नहीं, बूँदा-बाँदी, हल्की वर्षा, भारी वर्षा} में विस्तारित करने की आवश्यकता होगी, जिससे यह प्रश्न के लिए आवश्यक विवरण के स्तर के अनुरूप मेल खाता हो। यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रतिदर्श समष्टि, प्रस्तुत विशेष प्रश्न के अध्ययन के लिए पर्याप्त रूप से विस्तृत हो।

🟣 भाग 4/4 - 7.3.2 घटनाएँ शुद्ध सिद्धांत

कोई घटना एक संभावित परिणाम अथवा परिणामों का संयोजन होती है जो तब घटित हो सकती है जब आप कोई यादृच्छिक गतिविधि करते हैं। यह सभी संभावित परिणामों से विशेष परिणामों का चयन करने जैसा है। कोई घटना, एक प्रतिदर्श समष्टि का उपसमुच्चय (सबसेट) होती है।

प्रतिदर्श समष्टि और घटनाओं के उदाहरण:

1. दो सिक्कों को उछालना
- प्रतिदर्श समष्टि — सभी संभावित परिणाम, जैसे— चित-चित, चित-पट, पट-चित, पट-पट। S=प्रतिदर्श समष्टि={HH,HT,TH,TT}
- घटना— ‘कम-से-कम एक सिक्का चित प्रदर्शित करता है।’ E={HH,HT,TH}
n(S)=4, n(E)=3, P(E)=3/4

2. षट्फलकीय पासा फेंकना
- प्रतिदर्श समष्टि —1 से 6 तक अंकित सभी फलक। S={1,2,3,4,5,6}
- घटना— ‘पासे पर प्राप्त संख्या 4 से अधिक है।’ E={5,6}
n(E)=2, P(E)=2/6=1/3

3. टोकरी से फल निकालना
- प्रतिदर्श समष्टि — विभिन्न प्रकार के फल जो आप टोकरी से निकाल सकते हैं, जैसे— सेब, केला और संतरा। S={सेब, केला, संतरा}
- घटना— ‘वह फल निकालना जो पीला हो।’ E={केला}
n(S)=3, n(E)=1, P(E)=1/3

🔴 भाग 1/4 - Q1 और Q2

Q1. जब एक षट्फलकीय पासा फेंका जाता है तो प्रतिदर्श समष्टि में संभावित परिणामों की कुल संख्या कितनी होगी?
हल: S={1,2,3,4,5,6}
n(S)=6
उत्तर 6

Q2. निम्नलिखित प्रयोगों के लिए प्रतिदर्श समष्टि S लिखिए—
(i) एक साथ एक पासा फेंकना और एक सिक्का उछालना।
हल: पासा 6 परिणाम, सिक्का 2 परिणाम, कुल 12
S={1H,1T,2H,2T,3H,3T,4H,4T,5H,5T,6H,6T}
n(S)=12

(ii) -5 और +5 के मध्य एक पूर्णांक का यादृच्छिक चयन करना।
हल: -5 और +5 के मध्य पूर्णांक = -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 (यदि -5 और +5 सम्मिलित नहीं)
यदि -5 और +5 सम्मिलित हैं तो S={-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}
किताब के अनुसार मध्य में -4 से 4: S={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, n(S)=9
नोट: यदि सम्मिलित तो n=11

(iii) एक बक्से में 5 हरी और 7 लाल गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली गई।
हल: S={हरी गेंद, लाल गेंद} या गेंदों को अलग मानें तो
S={H1,H2,H3,H4,H5,R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7}, n(S)=12
सरल रूप: S={हरी, लाल}, n=2

🔵 भाग 2/4 - Q3 मेले वाला

Q3. एक ग्रामीण मेले में 3 लोकप्रिय नाश्ते उपलब्ध हैं— समोसा, पकौड़ा और भजिया। पेय पदार्थों में ग्रामीण व्यक्ति चाय या लस्सी का चयन कर सकते हैं।
(i) नाश्ते और पेय के सभी संभव संयोजन जो एक व्यक्ति मेले में चयनित कर सकता है, के प्रतिदर्श समष्टि सूचीबद्ध कीजिए।
हल:
नाश्ता = {समोसा(S), पकौड़ा(P), भजिया(B)}
पेय = {चाय(T), लस्सी(L)}
S={ (समोसा, चाय), (समोसा, लस्सी), (पकौड़ा, चाय), (पकौड़ा, लस्सी), (भजिया, चाय), (भजिया, लस्सी) }
अंग्रेजी में: S={(S,T),(S,L),(P,T),(P,L),(B,T),(B,L)}
n(S)=3×2=6
उत्तर S में 6 संयोजन

(ii) ‘समोसे को नाश्ते के रूप में चयनित करने’ की घटना को सूचीबद्ध कीजिए।
हल:
E= {समोसे वाला संयोजन}
E={ (समोसा, चाय), (समोसा, लस्सी) }
n(E)=2
P(E)=n(E)/n(S)=2/6=1/3≈0.333
उत्तर E={(समोसा,चाय),(समोसा,लस्सी)}, P=1/3

🟢 भाग 3/4 - सूत्र शुद्ध

S = सभी संभावित परिणाम
n(S)=कुल संख्या
E = S का उपसमुच्चय
P(E)=n(E)/n(S)
0≤P≤1

अग्निवीर में इस प्रकार के प्रश्न:
- पासा+सिक्का कुल परिणाम 12
- दो सिक्के 4, तीन सिक्के 8, दो पासे 36
- समोसा जैसा संयोजन प्रश्न - गुणा नियम

🟣 भाग 4/4 - सारांश

🔴 भाग 1/3 - वृक्ष आरेख क्या है?

वृक्ष आरेख एक दृश्यांकन है जिसका उपयोग बहु-चरणीय प्रयोग के सभी संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करने के लिए किया जाता है। एक बहु-चरणीय प्रयोग में स्वतंत्र परीक्षणों की एक श्रृंखला समाहित होती है, जैसे— एक सिक्के को दो बार उछालना अथवा एक पासे को तीन बार फेंकना। वृक्ष की प्रत्येक शाखा एक संभावित परिणाम को दर्शाती है और इन शाखाओं का आगे विभाजन आगामी घटनाओं के विभिन्न पथों को दर्शाता है।

एक वृक्ष आरेख निम्नलिखित के लिए उपयोगी है—
- बहु-चरणीय प्रयोगों का दृश्यांकन जहाँ आरंभ से समापन तक प्रत्येक पथ, एक पूर्ण परिणाम को दर्शाता है।
- एक प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणामों को सूचीबद्ध करना।

इस अध्याय में अभी तक हमने एकल-चरणीय प्रयोगों को देखा है। आइए, हम बहु-चरणीय प्रयोग का एक उदाहरण देखते हैं।

वृक्ष आरेख (चित्र 7.6 देखिए)
एक बिंदु से प्रथम उछाल में प्राप्त प्रत्येक संभव परिणाम तक एक रेखा खींचिए। इनमें से प्रत्येक परिणाम से प्रत्येक संभव परिणाम तक दो रेखाएँ खींचिए। क्या आपने देखा कि वृक्ष आरेख 4 संभावित परिणामों को दर्शाता है?

अतः प्रतिदर्श समष्टि S={HH, HT, TH, TT}

🔵 भाग 2/3 - प्रायिकता और सूत्र

इसके अतिरिक्त, प्रत्येक परिणाम की सैद्धांतिक प्रायिकता का उल्लेख परिणाम दर्शाने वाली शाखा पर किया गया है।


आइए, दो बार चित आने की घटना पर विचार करें। यह परिणाम HH द्वारा प्रदर्शित किया गया है।
HH की प्रायिकता =1/4=0.25 अथवा 25% है।

क्या आप एक बार चित और एक बार पट आने की प्रायिकता ज्ञात कर सकते हैं?
हल: एक चित एक पट E={HT,TH}, n(E)=2, n(S)=4, P=2/4=1/2=0.5=50%

वृक्ष आरेख से और उदाहरण:
- एक सिक्का 3 बार: कुल 8 परिणाम {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
- पासा+सिक्का: 12 परिणाम
- दो पासे: 36 परिणाम

🟢 भाग 3/3 - सारांश शुद्ध सिद्धांत

परिभाषा: वृक्ष आरेख बहु-चरणीय प्रयोग के सभी संभावित परिणामों का दृश्य सूचीबद्धीकरण है। प्रत्येक शाखा एक परिणाम, प्रत्येक पथ एक पूर्ण परिणाम।

उपयोग: 1. बहु-चरणीय प्रयोगों का दृश्यांकन 2. प्रतिदर्श समष्टि के सभी परिणाम सूचीबद्ध

उदाहरण 7 शुद्ध: सिक्का दो बार
प्रथम H → द्वितीय H → HH
प्रथम H → द्वितीय T → HT
प्रथम T → द्वितीय H → TH
प्रथम T → द्वितीय T → TT
S={HH,HT,TH,TT}, n=4

प्रायिकता:
P(HH)=1/4=0.25
P(एक H एक T)=2/4=1/2=0.5
P(कम-से-कम एक H)=3/4=0.75

🔴 भाग 1/3 - Q1 टोकरी A B

Q1. A और B फलों की दो टोकरियाँ हैं। टोकरी A में एक सेब और दो संतरे हैं। टोकरी B में एक केला और एक आम है। आप यादृच्छिक रूप से प्रत्येक टोकरी से एक फल निकालते हैं— (i) फलों के सभी संभावित युग्मों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींचिए। (ii) प्रतिदर्श समष्टि को सूचीबद्ध कीजिए। (iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता क्या होगी?

हल:
टोकरी A: {सेब, संतरा1, संतरा2} पर प्रकार से {सेब, संतरा}
टोकरी B: {केला, आम}

(i) वृक्ष आरेख:

(ii) प्रतिदर्श समष्टि:
सरल प्रकार से (प्रकार के आधार पर):
S={ (सेब,केला), (सेब,आम), (संतरा,केला), (संतरा,आम) }
n(S)=2×2=4

यदि प्रत्येक फल अलग मानें तो:
S={ (सेब,केला), (सेब,आम), (संतरा1,केला), (संतरा1,आम), (संतरा2,केला), (संतरा2,आम) }
n(S)=3×2=6

(iii) एक सेब और एक केला निकालने की प्रायिकता:
प्रकार के आधार पर: n(E)=1 (सेब,केला), n(S)=4 → P=1/4=0.25
फल अलग मानकर: P=1/6≈0.1667
उत्तर किताब प्रकार से P=1/4=25% (फल अलग तो 1/6)

🔵 भाग 2/3 - Q2 पेन वाला

Q2. मान लीजिए, आपके पास एक बक्सा है जिसमें 3 लाल पेन, 4 काले पेन और 2 हरे पेन हैं। आपने बक्से में बिना देखे एक पेन निकाला और वापस उसी में रख दिया। अब आपका मित्र भी इसी कार्य को दोहराता है। (i) पेन के रंगों के संभावित परिणाम क्या हैं? क्या आप संभावित परिणामों को दर्शाता हुआ एक वृक्ष आरेख खींच सकते हैं? (ii) क्या आप वृक्ष आरेख का उपयोग कर अनुमान लगा सकते हैं कि आप और आपके मित्र द्वारा एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता क्या होगी?

हल (i):
बक्सा: 3 लाल(R), 4 काला(B), 2 हरा(G), कुल 9
आप + मित्र, वापस रखना → स्वतंत्र

वृक्ष आरेख:

यदि प्रत्येक पेन अलग मानें तो कुल परिणाम 9×9=81
पर रंग के आधार पर S रंग={ (R,R),(R,B),(R,G),(B,R),(B,B),(B,G),(G,R),(G,B),(G,G) }, n=9

(ii) एक ही रंग के पेन निकालने की प्रायिकता:
विधि 1 - प्रकार के आधार पर (सरल, किताब जैसी):
समान रंग घटना E={ (R,R),(B,B),(G,G) }
यदि सभी रंग समप्रायिक मानें तो P=3/9=1/3≈0.333

विधि 2 - वास्तविक संख्या के आधार पर (शुद्ध गणितीय):
P(दोनों लाल)=3/9×3/9=9/81
P(दोनों काला)=4/9×4/9=16/81
P(दोनों हरा)=2/9×2/9=4/81
P(एक ही रंग)=9/81+16/81+4/81=29/81≈0.358=35.8%

उत्तर सरल विधि P=1/3≈33.3%, वास्तविक P=29/81≈35.8%

🟢 भाग 3/3 - सूत्र FINAL

🔴 भाग 1/4 - MCQ 1-5

Q1. एक निष्पक्ष सिक्का उछालने पर चित आने की प्रायिकता क्या है?
A) 0 B) 1 C) 1/2 D) 1/4
उत्तर C) 1/2 - S={H,T}, n=2, P=1/2

Q2. एक षट्फलकीय पासे पर 7 आने की प्रायिकता क्या है?
A) 1/6 B) 0 C) 1 D) 7/6
उत्तर B) 0 - असंभव घटना P=0

Q3. प्रतिदर्श समष्टि S={वर्षा होगी, वर्षा नहीं होगी} का आकार n(S) कितना?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4
उत्तर B) 2

Q4. दो सिक्के एक साथ उछाले, प्रतिदर्श समष्टि में कुल परिणाम?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 6
उत्तर B) 4 - {HH,HT,TH,TT}

Q5. ताश की 52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता, इक्का आने की प्रायिकता?
A) 1/52 B) 4/52=1/13 C) 13/52 D) 26/52
उत्तर B) 1/13

🔵 भाग 2/4 - MCQ 6-12

Q6. किसी घटना की प्रायिकता 0 से 1 के बीच, P(E)+P(E नहीं)=?
A) 0 B) 1 C) 1/2 D) 2
उत्तर B) 1

Q7. पासा 50 बार फेंका 8 बार 4 आया, 4 की प्रायोगिक प्रायिकता?
A) 1/6 B) 8/50=0.16 C) 50/8 D) 1
उत्तर B) 8/50=0.16

Q8. ‘PROBABILITY’ शब्द से B आने की सैद्धांतिक प्रायिकता?
A) 1/11 B) 2/11 C) 11/2 D) 1
उत्तर B) 2/11≈0.182 - दो B, 11 अक्षर

Q9. थैले में 10 लाल 8 हरी 7 पीली 5 नीली कुल 30, हरी की प्रायिकता?
A) 8/30=4/15 B) 10/30 C) 7/30 D) 5/30
उत्तर A) 4/15

Q10. 600 मिठाइयों में पीली 7/30, अनुमानित पीली?
A) 140 B) 200 C) 70 D) 600
उत्तर A) 140 =7/30×600

Q11. पासा+सिक्का एक साथ, कुल परिणाम n(S)=?
A) 6 B) 2 C) 12 D) 8
उत्तर C) 12 =6×2

Q12. वृक्ष आरेख सिक्का 2 बार, HH की प्रायिकता?
A) 1/4 B) 1/2 C) 3/4 D) 1
उत्तर A) 1/4

🟢 भाग 3/4 - MCQ 13-20

Q13. सिक्का 6 बार चित आया, अगली बार पट की प्रायिकता?
A) अधिक B) 1/2 ही C) 0 D) 1
उत्तर B) 1/2 - द्यूतकार भ्रम नहीं, स्वतंत्र, सिक्के की कोई स्मृति नहीं

Q14. एक पासे पर सम संख्या P=?
A) 1/6 B) 1/2 C) 1/3 D) 2/3
उत्तर B) 1/2 - {2,4,6}=3/6

Q15. दो सिक्कों में कम-से-कम एक चित P=?
A) 1/4 B) 2/4 C) 3/4 D) 1
उत्तर C) 3/4 - {HH,HT,TH}

Q16. बक्सा 3 लाल 4 काला 2 हरा कुल 9, वापस रखकर दोनों बार एक ही रंग P वास्तविक?
A) 1/3 B) 29/81≈0.358 C) 1/2 D) 1
उत्तर B) 29/81 - 9/81+16/81+4/81

Q17. बृहत् संख्याओं का नियम क्या कहता है?
A) प्रयोग बढ़ने पर P_exp घटती B) प्रयोग बढ़ने पर P_exp→P_theo C) P हमेशा 0 D) P हमेशा 1
उत्तर B) प्रयोग बढ़ने पर प्रायोगिक → सैद्धांतिक

Q18. टोकरी A 1 सेब 2 संतरे, B केला आम, (सेब,केला) P प्रकार आधार?
A) 1/4 B) 1/6 C) 1/2 D) 1
उत्तर A) 1/4 - फल अलग तो 1/6

Q19. निश्चित घटना की प्रायिकता?
A) 0 B) 0.5 C) 1 D) 0.25
उत्तर C) 1 - सोमवार रविवार बाद, सूर्य पूर्व से

Q20. पासा 12 बार 3 तीन बार, प्रायोगिक P(3)=?
A) 1/6 B) 3/12=1/4 C) 1/2 D) 0
उत्तर B) 1/4, सैद्धांतिक 1/6

🟣 भाग 4/4 - अग्निवीर ट्रिक

अग्निवीर ट्रिक:
- P=n(E)/n(S) हमेशा
- सिक्का 1/2, पासा 1/6, दो सिक्के 4, तीन सिक्के 8, दो पासे 36, ताश 52
- असंभव 0 निश्चित 1
- वापस रखना = स्वतंत्र गुणा
- वृक्ष आरेख = गुणा नियम
- द्यूतकार भ्रम से बचना - हर उछाल स्वतंत्र