*6* | समतल मापन – परिमाप और क्षेत्रफल | Plane Measurement – Perimeter and Area

🔴 भाग 1/4 - परिमाप क्या? क्षेत्रफल क्या?

परिमाप = चारों तरफ की बाड़। कितना तार लगेगा? चारों भुजाओं का जोड़।
क्षेत्रफल = अंदर कितनी जगह? फर्श पर कितनी टाइल लगेगी? लंबाई×चौड़ाई।उदा: 5×4 आयत परिमाप 18, क्षेत्रफल 20।
5 का वर्ग परिमाप 20, क्षेत्रफल 25।
परिमाप एक रेखा इकाई cm m km।
क्षेत्रफल दो रेखा वर्ग इकाई cm² m²।

🔵 भाग 2/4 - आयत वर्ग

आयत में आमने-सामने बराबर इसलिए 2(L+B)।
वर्ग में चारों बराबर 4a।
यदि L=8 B=5 परिमाप 26 क्षेत्रफल 40।परिमाप से भुजा: आयत L+B=परिमाप/2, वर्ग a=परिमाप/4।
क्षेत्रफल से भुजा: वर्ग a=√क्षेत्रफल।

🟢 भाग 3/4 - त्रिभुज

त्रिभुज तीन भुजाएँ a,b,c।आधार कोई भी, ऊँचाई आधार पर लंबर।
समबाहु में सभी 60° सभी भुजा बराबर।
समकोण में एक कोण 90° दो भुजाएँ लंबवत।यदि तीन भुजा पता हो a,b,c, s=(a+b+c)/2 अर्धपरिमाप, क्षेत्रफल=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]।
उदा: 5,5,6 s=8 क्षे=√[8×3×3×2]=√144=12।

🟣 भाग 4/4 - वृत्त और अन्य

वृत्त में r आधी व्यास।
π=22/7 या 3.14।
चतुर्भुज में विकर्ण से क्षेत्रफल निकालते।

🔴 भाग 1/4 - 6.1 आयत वर्ग सिद्धांत

आयत चार कोण 90° आमने सामने बराबर। L लंबी B छोटी।
वर्ग विशेष आयत चारों बराबर चारों 90°।आयत में विकर्ण बराबर होते।
वर्ग में विकर्ण बराबर 90° पर नहीं सामान्य आयत में बराबर पर 90° नहीं।
यदि परिमाप दिया हो तो L+B=परि/2।
यदि क्षेत्रफल और एक भुजा दी तो दूसरी=क्षे/भुजा।आयत वह चतुर्भुज जिसके चारों कोण समकोण और सामने की भुजा बराबर।
वर्ग वह आयत जिसकी चारों भुजा बराबर।

🔵 भाग 2/4 - 6.2 त्रिभुज सिद्धांत

तीन भुजाओं से घिरा क्षेत्र त्रिभुज। a,b,c।आधार किसी भी भुजा को ले सकते ऊँचाई उसी पर लंबर।
समबाहु में ऊँचाई मध्य में गिरती।यदि तीन भुजा पता पर ऊँचाई नहीं तो हीरोन।
s=(a+b+c)/2 अर्ध परिमाप।
क्षे=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]।
उदा 13,14,15 s=21 क्षे=√[21×8×7×6]=√7056=84।
यह सूत्र हर त्रिभुज के लिए।

🟢 भाग 3/4 - 6.3 6.4 समानांतर समचतुर्भुज समलंब

समानांतर चतुर्भुज सामने बराबर सामने समानांतर।
समचतुर्भुज चारों बराबर सामने समानांतर विकर्ण लंबर।
समलंब एक जोड़ी समानांतर।समलंब में दो भुजा समानांतर बाकी तिरछी।
औसत (a+b)/2 × h क्षेत्रफल।

🟣 भाग 4/4 - 6.5 वृत्त सिद्धांत

वृत्त बिंदु जिसका केंद्र से दूरी r बराबर। व्यास 2r।
π=22/7=3.14 परिधि और क्षेत्रफल में।अर्धवृत्त परिमाप में व्यास जोड़ना मत भूलो बाड़ में व्यास भी।
केवल चाप चाहिए तो πr, पूरी बाड़ तो +2r।परिधि वृत्त की बाड़, क्षेत्रफल अंदर जगह।
त्रिज्या केंद्र से किनारा, व्यास दो त्रिज्या केंद्र से होकर।
छल्ला दो वृत्त बीच की जगह टायर जैसा।

🔴 भाग 1/6 - Q1-Q3

Q1. एक वृत्त का परिमाप 44 सेमी है। इसकी त्रिज्या क्या होगी?
2πr=44 =>2×22/7×r=44 =>r=7 सेमी
उत्तर 7 सेमी

Q2. निम्न वृत्तों की परिधि 3 दशमलव तक— (i) r7 (ii) r10 (iii) r12
(i)2×22/7×7=44.000 सेमी
(ii)2×22/7×10=62.857 सेमी
(iii)2×22/7×12=75.428 सेमी

Q3. चाप की लंबाई— (i) r3.5 θ60° (ii) r6.3 θ120°
l=θ/360×2πr
(i)60/360×2×22/7×3.5=11/3=3.667 सेमी
(ii)120/360×2×22/7×6.3=13.2 मीटर
उत्तर 3.667 सेमी, 13.2 मी

🔵 भाग 2/6 - Q4-Q5(i)(ii)

Q4. r14 θ75° त्रिज्यखंड का परिमाप (वक्र+2 सीधी)
चाप=75/360×88=55/3=18.333 सेमी
परिमाप=18.333+28=46.333=139/3 सेमी

Q5(i). 60 मी व्यास 80 मी लंबा स्टेडियम - चित्र 6.14(i)
2 सीधी 80+80=160
2 अर्धवृत्त=पूरा वृत्त व्यास60 =>π×60=188.571
कुल=348.571 मी

Q5(ii). 12 सेमी बाहर 8 सेमी अंदर अर्ध छल्ला - चित्र(ii)
बाहर अर्ध r6 आर्क π×6=18.857
अंदर अर्ध r4 आर्क π×4=12.571
सीधी 2+2=4
कुल=10π+4=35.428 सेमी

🟢 भाग 3/6 - Q5(iii)(iv)(v)(vi)

(iii) 10 सेमी वर्ग पर चार अर्धवृत्त - चित्र(iii)
4 अर्ध r5 =>20π=62.857 सेमी

(iv) 12 सेमी तीन अर्धवृत्त तिकोना - चित्र(iv)
3 अर्ध r6 =>18π=56.571 सेमी

(v) 14 सेमी 4 अर्ध +4 चौथाई - चित्र(v)
4 अर्ध r7=28π +2πr=28π =>56π=176 सेमी

(vi) 28 सेमी बड़ा अर्ध +4 छोटे 7 व्यास - चित्र(vi)
बड़ा r14 आर्क 44 +4 छोटे r3.5 आर्क 44 =>88 सेमी

🟣 भाग 4/6 - Q5(vii)(viii)(ix)

(vii) 6 सेमी 8 सेमी त्रिभुज पर अर्धवृत्त - चित्र(vii)
कर्ण=10, 6 वाला अर्ध π×3=9.428, 8 वाला π×4=12.571, 10 वाला π×5=15.714
कुल बाहरी=37.714=12π सेमी

(viii) 4-4-4 तीन छोटे + बड़ा 12 अर्ध - चित्र(viii)
बड़ा r6 आर्क 18.857 +3 छोटे r2 आर्क 3×6.285=18.857 =>37.714 सेमी

(ix) 10+10=20 आधार दो अर्ध - चित्र(ix)
बड़ा r10 आर्क 31.428 + छोटा r5 आर्क 15.714 + सीधी 10 =57.142
केवल चाप=47.142 सेमी

🟠 भाग 5/6 - Q6 कार पहिया

Q6. कार पहिया व्यास56 सेमी— (i)1 चक्कर दूरी (ii)10 किमी में चक्कर?

d=56 r=28
(i) परिधि=πd=22/7×56=176 सेमी=1.76 मी
उत्तर 176 सेमी

(ii) 10 किमी=10,00,000 सेमी
चक्कर=10,00,000/176=5681.81≈5682 चक्कर
उत्तर 5682 चक्कर लगभग

🔵 भाग 6/6 - Q7 Q8 फूल

Q7(i). वर्ग 14 सेमी फूल - चाप केंद्र भुजा मध्यबिंदु - चित्र 6.15(क)
r=7, 90° चाप=πr/2=11 सेमी
4 पंखुड़ी बाहरी=44 सेमी, कुल दोनों तरफ=88 सेमी
उत्तर 88 सेमी कुल

Q7(ii). षट्भुज 42 सेमी फूल - केंद्र शीर्ष - चित्र 6.15(ख)
r=42, 60° चाप=πr/3=44 सेमी
6 चाप बाहरी=264 सेमी, कुल 12 चाप=528 सेमी
उत्तर 528 सेमी कुल, 264 बाहरी

Q8. दो वृत्त परिमाप अनुपात 5:4 त्रिज्या अनुपात?
2πr1/2πr2=5/4 =>r1/r2=5/4
उत्तर 5:4

🔴 भाग 1/5 - सोचिए और विचार कीजिए + 6.8.1 हीरोन

मान लीजिए दो समान क्षेत्रफल वाले बहुभुज P और Q दिए गए हैं। क्या उनमें से एक को सीधी रेखा से दो या अधिक भागों में इस प्रकार बाँटना संभव है और फिर उन कटे हुए भागों को इस प्रकार से व्यवस्थित करना संभव है कि वे सभी भाग मिलकर दूसरे बहुभुज को भी पूरा ढक लें?

अपने चारों ओर की आकृतियों के उदाहरण सोचिए—
1. समान क्षेत्रफल वाले वर्ग और गैर-वर्गाकार आयत,
2. भिन्न-भिन्न आकृति वाले दो त्रिभुज जिनका क्षेत्रफल समान है।
3. समान क्षेत्रफल वाला एक त्रिभुज और एक वर्ग - इसे आप अपनी कल्पना से तैयार कीजिए।

40 इकाई परिमाप वाले विभिन्न आयतों के विषय में विचार कीजिए (भुजाओं का पूर्णांक होना आवश्यक नहीं है)।
1. इस प्रकार के कितने आयत हो सकते हैं?
2. इनमें से कोई ऐसा है जिसका क्षेत्रफल सबसे अधिक हो? इसकी विमाएँ क्या होंगी?
3. क्या इन सभी आयतों में से ऐसा कोई एक आयत है जिसका क्षेत्रफल सबसे कम है? उसकी विमाएँ क्या होंगी? क्या इस प्रकार का कोई भी उत्तर आपको आश्चर्यचकित करता है?
आप त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र 1/2 × आधार × ऊँचाई से भली-भाँति परिचित हैं। क्या त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालने का कोई और भी सूत्र है? हाँ, अन्य प्रकार से भी क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

अब हम हीरोन के सूत्र पर चर्चा करेंगे, जिसको यूनान देश के गणितज्ञ और आविष्कारक हीरोन ने ज्ञात किया था। उन्होंने इसे प्राचीन में मिस्र देश के नील नदी के किनारे स्थित शहर अलेक्जेंड्रिया के संग्रहालय में पढ़ा था।

सूत्र: यदि ΔABC की भुजाओं की लंबाई BC=a, CA=b और AB=c है तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार से ज्ञात किया जा सकता है। सर्वप्रथम हम इसका अर्द्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे, जो कि इसके परिमाप का आधा होगा अर्थात्

🔵 भाग 2/5 - उदाहरण 3,4,5 - पेज 135-136

एक समबाहु त्रिभुज की भुजा a इकाई है।
सभी तीनों भुजाओं की लंबाई a इकाई है तो इसका अर्द्ध-परिमाप s=(a+a+a)/2=3a/2 इकाई है।
अब हीरोन के सूत्र का उपयोग करके त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[3a/2 × (3a/2-a)×(3a/2-a)×(3a/2-a)] = √[3a/2 × a/2 × a/2 × a/2] = √3/4 a² वर्ग इकाई होगा।
बौधायन-पाइथागोरस से h² = a²-(a/2)² =3a²/4 =>h=√3a/2
इसलिए क्षेत्रफल 1/2×a×√3a/2=√3/4 a² समान सूत्र है।
∴ प्रतीक का तात्पर्य ‘इसलिए’ है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज की प्रत्येक समान भुजा a इकाई और आधार 2b इकाई है।
अर्द्ध-परिमाप s=1/2(2a+2b)=a+b इकाई है। हीरोन सूत्र अनुसार क्षेत्रफल = √[(a+b)(a+b-a)(a+b-a)(a+b-2b)]? नहीं सही:
क्षेत्रफल = √[(a+b)(a+b-a)(a+b-a)(a+b-2b)] = √[(a+b)×b×b×(a-b)] = b√(a²-b²) वर्ग इकाई है।
बौधायन-पाइथागोरस से h²=a²-b² =>h=√(a²-b²)
इसलिए क्षेत्रफल 1/2×2b×√(a²-b²)=b√(a²-b²) पूर्व के समान है।

एक त्रिभुज की भुजाएँ 3 इकाई, 4 इकाई और 5 इकाई हैं।
अर्द्ध-परिमाप s=(3+4+5)/2=6 इकाई है। हीरोन से क्षेत्रफल = √[6(6-3)(6-4)(6-5)] = √[6×3×2×1]=√36=6 वर्ग इकाई
चित्र 6.25 देखिए तो 3²+4²=5² है। अतः बौधायन-पाइथागोरस के विलोम अनुसार ΔABC, B पर समकोण है।
आधार=3 ऊँचाई=4 अतः क्षेत्रफल=1/2×3×4=6 वर्ग इकाई। प्रत्येक तथ्य में हम एक समान सही परिणाम पाते हैं।

🟢 भाग 3/5 - परिबृत्त अंतवृत्त + चक्रीय चतुर्भुज - पेज 137-138

हीरोन का सूत्र कैसे सिद्ध होगा। इसके कई प्रमाण ज्ञात हुए हैं। उनमें से एक बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय और ‘दो वर्गों के अंतर’ का सूत्र a²-b²=(a-b)(a+b) बारंबार उपयोग हुआ है। हम कक्षा 10 में भी इनमें से कुछ प्रमाणों का अध्ययन करेंगे। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए ऐसे अन्य दो और सूत्र भी हैं। दोनों का संबंध वृत्तों से है।

परिवृत्त और अंतवृत्त: किसी भी त्रिभुज ABC के तीनों शीर्षों से होकर गुजरने वाला केवल एक ही वृत्त होता है, जिसे ΔABC का परिवृत्त कहते हैं। इसी प्रकार ΔABC में एक वृत्त ऐसा भी है जो त्रिभुज के ठीक मध्य में स्थित है और त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। इसे ΔABC का अंतवृत्त कहते हैं।
हमने देखा कि त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई दी गई है तो उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करेंगे। अब स्वाभाविक प्रश्न यह उठता है कि चतुर्भुज की चार भुजाओं की लंबाई दिए जाने पर उसका क्षेत्रफल कैसे निकालेंगे?

पूर्व में हमने पूछा था कि क्या हम समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं जब केवल भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो? उत्तर है— नहीं। चित्र 6.27 में प्रश्न यह है कि किसी चतुर्भुज का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ 3,3,3,3 हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं कि तीनों आकृतियों का क्षेत्रफल भिन्न है। अतः केवल चार भुजाओं की लंबाई से चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात नहीं कर सकते।

ऐसा ही एक गुणधर्म यह है कि जब चतुर्भुज, चक्रीय चतुर्भुज होता है। 628 सामान्य संवत में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598–668) ने चक्रीय चतुर्भुज के लिए एक अद्भुत सूत्र का अन्वेषण किया।

🟣 भाग 4/5 - उदाहरण 6,7 + विशेष स्थिति व्यापकीकरण - पेज 139-140

आयत के विषय में ब्रह्मगुप्त के सूत्र को सत्यापित कीजिए। सभी आयत चक्रीय होते हैं, अतः ब्रह्मगुप्त का सूत्र लागू होना चाहिए। मान लीजिए आयत की भुजाएँ a और b हैं तब सूत्र s=(2a+2b)/2=a+b होगा,
अतः सूत्र अनुसार क्षेत्रफल = √[(a+b-a)(a+b-b)(a+b-a)(a+b-b)] = √[b×a×b×a] = ab, जो कि सत्य है।

समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के विषय में ब्रह्मगुप्त के सूत्र का सत्यापन कीजिए। सभी समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज चक्रीय होते हैं।
आकृति का परिमाप 2a+2b+2c है तो s=a+b+c है। अतः सूत्र अनुसार क्षेत्रफल √[(s-2a)(s-2b)(s-c)(s-c)] होना चाहिए।
चूँकि s-2a=c+b-a, s-2b=c+a-b, s-c=a+b, उपरोक्त सूत्र सरल होकर √[(a+b)(c+b-a)(c+a-b)(a+b)]? वास्तव में (a+b)√[c²-(b-a)²] होता है।
यदि हम आधार CD पर B से लंब बनाए तो उसकी लंबाई बौधायन-पाइथागोरस से √[c²-(b-a)²] होती है। अतः क्षेत्रफल (a+b)h होता है। ठीक यही सूत्र हमें तब भी प्राप्त होता है जब हम स्मरण करते हैं कि समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और उनके मध्य की दूरी के गुणनफल के समान होता है।

‘विशेष स्थिति’ की अवधारणा प्रायः उच्च गणित में देखने को मिलती है। एक विशेष स्थिति तब उत्पन्न होती है जब हम कोई अतिरिक्त शर्त सम्मिलित करने पर व्यापक परिणाम प्राप्त होता है।
उदाहरण: वर्ग, आयत का एक विशेष रूप है। अतः वर्ग के क्षेत्रफल का सूत्र (A=a²), आयत के क्षेत्रफल के सूत्र (A=ab) की विशेष स्थिति है, यदि b=a है।
इसी प्रकार (a+b)²=a²+b²+2ab, (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca की विशेष स्थिति है (दूसरी सर्वसमिका में c=0 रखें)।

हीरोन और ब्रह्मगुप्त के सूत्र में दिखने वाली समानता मात्र कोई संयोग नहीं है। कैसे? ब्रह्मगुप्त का सूत्र, हीरोन के सूत्र का व्यापकीकरण है अर्थात हम हीरोन के सूत्र को ब्रह्मगुप्त के सूत्र का एक विशेष रूप मान सकते हैं।
भुजा a,b,c वाले त्रिभुज को चतुर्भुज ABCD की विशेष स्थिति माना जा सकता है। इसमें चौथी भुजा की लंबाई शून्य (d=0) है। अतः AB=a, BC=b, CD=c है। इसका अर्थ है कि शीर्ष A और D संपाती हैं।
चूँकि कोई भी त्रिभुज चक्रीय होता है, यह चतुर्भुज भी चक्रीय है। अतः ब्रह्मगुप्त का सूत्र इस चतुर्भुज पर भी लागू होना चाहिए।
s=(a+b+c+0)/2=(a+b+c)/2 जो त्रिभुज के अर्द्ध-परिमाप के समान है। अब ब्रह्मगुप्त अनुसार

🟠 भाग 5/5 - 6.9 आयत को वर्ग बनाना - पेज 141-142

प्राचीन काल में ‘किसी आकृति को वर्ग’ करने का अर्थ था, उस ‘आकृति के क्षेत्रफल में समान क्षेत्रफल वाली एक वर्गाकार आकृति बनाना’। आकृति आयत, त्रिभुज या वृत्त हो सकती थी। हम यहाँ पर देखते हैं कि कैसे प्राचीन भारतीय गणितज्ञ बौधायन ने एक आयत को वर्गाकार बनाया।

उनके शुल्बसूत्र (800 सामान्य संवतपूर्व) से प्राप्त यह रचना दर्शाती है कि a इकाई और b इकाई भुजाओं वाले आयत को वर्गाकार कैसे बनाया जाए जबकि (a>b) है। इसका अर्थ है कि हमें एक वर्गाकार आकृति बनानी होगी, जिसका क्षेत्रफल ab वर्ग इकाई होगा। यहाँ बौधायन की रचना का एक सरलीकृत रूप दिया गया है (चित्र 6.30)—

रचना चरण - चित्र 6.30:
• दिया गया है कि एक आयत ABCD जिसमें AD=a, AB=b जहाँ a>b है।
• AD पर बिंदु E इस प्रकार निर्धारित कीजिए कि AE=AB हो।
• ED के मध्यबिंदु F का पता लगाइए। AF=(AE+AD)/2=(a+b)/2
• वर्ग AFGH खींचिए, जिसकी भुजा AF हो और शीर्ष H, AB को आगे बढ़ाने पर प्राप्त हो।
• H को केंद्र मानकर चाप AG खींचिए। मान लीजिए कि चाप AG भुजा BC को K पर काटती है।
• K से होकर AH के समांतर एक रेखा खींचिए। मान लीजिए कि यह रेखा GH को P पर काटती है।
• HP को भुजा मानकर वर्ग HPQS बनाइए तब वर्ग HPQS का क्षेत्रफल आयत ABCD के क्षेत्रफल के समान होगा।

यह समझने का प्रयत्न कीजिए कि यह विधि कैसे काम करती है। इससे आपको ज्ञात होगा कि यह सूत्र (a+b)/2² - (a-b)/2² = ab है।

किसी दिए गए त्रिभुज से वर्ग बनाने के लिए आप किस प्रक्रिया का उपयोग करेंगे? यहाँ पर आपको एक ऐसा वर्ग बनाना है जिसका क्षेत्रफल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान हो। ध्यानपूर्वक विचार कीजिए कि आप इसे कैसे करेंगे।

🔴 भाग 1/4 - Q1-Q3

किसी दिए गए त्रिभुज से वर्ग बनाने के लिए आप किस प्रक्रिया का उपयोग करेंगे? यहाँ पर आपको एक ऐसा वर्ग बनाना है जिसका क्षेत्रफल किसी दिए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान हो। ध्यानपूर्वक विचार कीजिए कि आप इसे कैसे करेंगे।

Q1. आकृति 6.31 में त्रिभुज ADE का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए—
चित्र 6.31 में आयत ABCD, AD=10 सेमी, AE? DE? - चित्र में E, AB पर? AD=10 सेमी, DE=8 सेमी ऊँचाई
हल: त्रिभुज ADE का आधार AD=10 सेमी, ऊँचाई = आयत की चौड़ाई =8 सेमी
क्षेत्रफल=1/2×10×8=40 वर्ग सेमी
उत्तर 40 वर्ग सेमी

Q2. एक समलंब चतुर्भुज की समांतर भुजाएँ 40 सेंटीमीटर और 20 सेंटीमीटर हैं। यदि इसकी दोनों असमांतर भुजाएँ समान हों और प्रत्येक 26 सेंटीमीटर हो तो समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: समांतर a=40, b=20, असमांतर c=26
ऊँचाई h=√[26²-((40-20)/2)²]=√[676-100]=√576=24 सेमी
क्षेत्रफल=1/2(a+b)×h=1/2×60×24=720 वर्ग सेमी
उत्तर 720 वर्ग सेमी

Q3. त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी भुजाओं की लंबाई 8 सेंटीमीटर और 11 सेंटीमीटर है तथा उसका परिमाप 32 सेंटीमीटर है।
हल: तीसरी भुजा=32-8-11=13 सेमी
s=16, क्षेत्रफल=√[16×8×5×3]=√1920=8√30=43.81 वर्ग सेमी
उत्तर 8√30 वर्ग सेमी

🔵 भाग 2/4 - Q4-Q6

Q4. एक त्रिभुजाकार भूखंड की भुजाओं का अनुपात 3:5:7 है और इसका परिमाप 300 मीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: मानो भुजाएँ 3x,5x,7x =>3x+5x+7x=300 =>15x=300 =>x=20
भुजाएँ 60,100,140 मीटर
s=150, क्षेत्रफल=√[150×90×50×10]=√[6750000]=1500√3 वर्ग मीटर
≈2598.07 वर्ग मी
उत्तर 1500√3 वर्ग मीटर

Q5. एक समचतुर्भुज के एक विकर्ण की लंबाई दूसरे विकर्ण की लंबाई से दोगुनी है। यदि समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 128 वर्ग सेंटीमीटर है तो इसके छोटे विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
हल: मानो छोटा विकर्ण d1=d, बड़ा d2=2d
क्षेत्रफल=1/2×d1×d2=1/2×d×2d=d²=128 =>d=√128=8√2=11.31 सेमी
उत्तर छोटा विकर्ण 8√2 सेमी

Q6. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। P और Q भुजा AB पर स्थित कोई दो बिंदु हैं तो ΔPCD और ΔQCD के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: दोनों त्रिभुज समान आधार CD और समान ऊँचाई (AB और CD के बीच की दूरी) पर हैं।
इसलिए क्षेत्रफल(ΔPCD)=क्षेत्रफल(ΔQCD)=1/2×समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल
यदि ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात हो तो वही आधा होगा। सिद्ध करना है कि दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान है।
उत्तर दोनों समान, =1/2 ABCD

🟢 भाग 3/4 - Q7-Q9

Q7. समांतर चतुर्भुज PQRS के विकर्ण PR पर स्थित कोई O बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि PSO और PQO त्रिभुजों के क्षेत्रफल समान हैं।
हल: विकर्ण PR समांतर चतुर्भुज को दो बराबर क्षेत्रफल वाले त्रिभुजों में बाँटता है।
क्षेत्रफल(ΔPSR)=क्षेत्रफल(ΔPQR)=1/2 PQRS
इसी प्रकार O, PR पर है तो ΔOSR और ΔOQR? सिद्ध करना है ΔPSO=ΔPQO
प्रमाण: ΔPSR और ΔPQR समान आधार PR? नहीं, पर ऊँचाई समान? वास्तव में ΔPOS और ΔPOQ के आधार समान? विस्तार से हीरोन नहीं, क्षेत्रफल गुणधर्म से सिद्ध होता है।

Q8. यदि एक चतुर्भुज की भुजाओं के मध्यबिंदु को क्रम से जोड़ा जाए तो सिद्ध कीजिए कि इस प्रकार बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दिए गए चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होगा। (आप सोच रहे होंगे कि क्या इस प्रकार बना चतुर्भुज हमेशा समांतर चतुर्भुज ही होता है। यदि हाँ, तो क्यों? इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर चतुर्भुज वाले अध्याय में मिलेंगे।)
हल: मध्यबिंदु प्रमेय से बनने वाला चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज होता है और उसका क्षेत्रफल मूल चतुर्भुज का आधा होता है। विकर्ण द्वारा दो त्रिभुज बनाकर सिद्ध किया जाता है।

Q9. ΔABC में BC का मध्यबिंदु D है (चित्र 6.32)। माध्यिका AD खींची गई है। बिंदु P रेखाखंड AD पर स्थित कोई बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि ΔABP का क्षेत्रफल ΔACP के क्षेत्रफल के समान है।
चित्र 6.32 - A शीर्ष, BC आधार, D मध्य, P, AD पर
हल: माध्यिका AD, ΔABC को दो बराबर क्षेत्रफल में बाँटती है। क्षेत्रफल ABD=ACD
इसी प्रकार PBD=PCD
घटाने पर ABP=ACP
सिद्ध

🟣 भाग 4/4 - Q10-Q11 अंतिम

Q10. एक वर्ग ABCD दिया गया है, माना कि P इसके अंदर एक बिंदु है। PA, PB, PC और PD को मिलाइए (चित्र 6.33)। लाल रंग के क्षेत्र (ΔPAB और ΔPCD) तथा हरे रंग के क्षेत्र (ΔPBC और ΔPDA) के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?
हल: वर्ग में किसी अंदर बिंदु P से बने चार त्रिभुजों में
क्षेत्रफल(PAB)+क्षेत्रफल(PCD)=1/2 वर्ग का क्षेत्रफल
क्षेत्रफल(PBC)+क्षेत्रफल(PDA)=1/2 वर्ग का क्षेत्रफल
इसलिए लाल और हरे क्षेत्र बराबर हैं, अनुपात 1:1
उत्तर अनुपात 1:1

Q11. ΔABC में D भुजा AB का मध्यबिंदु है। P भुजा BC पर स्थित कोई बिंदु है और Q भुजा AB पर स्थित एक बिंदु है, जहाँ CQ || PD है। PQ को मिलाया गया है (चित्र 6.34)। सिद्ध कीजिए कि क्षेत्रफल (ΔBPQ)=1/2 क्षेत्रफल (ΔABC) है।
चित्र 6.34 - A शीर्ष, Q, D, B एक रेखा पर, P, BC पर, CQ || PD
हल: D, AB का मध्यबिंदु => क्षेत्रफल ADC? माध्यिका? CQ || PD => क्षेत्रफल PQD = CQD? समान आधार PD, समान समांतर रेखाओं के बीच
फिर क्षेत्रफल BPQ = 1/2 ABC सिद्ध होता है मध्यबिंदु और समांतर गुणधर्म से।
सिद्ध

🔴 भाग 1/5 - 6.10 वृत्त का क्षेत्रफल - परिभाषा

वृत्त एक अत्यंत सरल आकृति है। यदि हमारे पास एक रस्सी है और उसे बाँधने के लिए एक खूँटी दी गई है तो इसे बनाना सरल है। मनुष्य सहस्रों वर्षों से अपनी बस्तियों, इमारतों और औजारों में वृत्ताकार आकृति का उपयोग करते आ रहे हैं।

मनुष्य वृत्ताकार आकृतियों का इतना अधिक उपयोग क्यों करते थे? क्या यह केवल व्यावहारिक कारणों से था अथवा इसके पीछे अन्य कारण भी हो सकते थे? मनुष्य ने वृत्ताकार आकृतियों के लिए किस प्रकार की वस्तुएँ अन्वेषित की हैं?

आरंभिक काल में मनुष्यों के समक्ष वृत्त द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल A को जानने की चुनौती थी। उदाहरण के लिए, उन्हें यह पता लगाने की आवश्यकता रही होगी कि एक बेलनाकार मीनार (जिसके अनुप्रस्थ काट वृत्ताकार हो) में कितना अनाज रखा जा सकता है अथवा एक वृत्ताकार बगीचा अथवा वृत्ताकार भवन कितना क्षेत्रफल घेरता है। उन्हें इस प्रकार के आँकड़ों की आवश्यकता अपने शहरों को बनाने की योजना बनाने, कर प्रबंधन आदि के लिए होती थी।

प्रारंभिक समाजों में यह बात भली-भाँति समझ में आती थी कि क्षेत्रफल A, परिधि C के वर्ग के समानुपाती होता है। आइए, देखते हैं कि ऐसा क्यों होता है।
• मान लीजिए कि हमें एक वर्ग दिया गया है। इसकी भुजा a है और इसका परिमाप P=4a है तथा क्षेत्रफल A=a² है, अतः अनुपात P²:A=(4a)²:a²=16a²:a²=16:1 है। इसलिए सभी वर्गों के लिए अनुपात P²:A=16:1 है। यह अनुपात वर्ग के आकार पर निर्भर नहीं करता है — यह सभी वर्गों के लिए समान है।

• एक समबाहु त्रिभुज पर विचार कीजिए, जिसकी भुजा a है। इसका परिमाप P=3a और इसका क्षेत्रफल A=√3/4 a² है। अतः P²:A=(3a)² : √3/4 a² =9 : √3/4 =36:√3 =12√3:1 होगा। अतः सभी समबाहु त्रिभुजों के लिए P²:A का अनुपात 12√3 है। यह अनुपात समबाहु त्रिभुज के आकार पर निर्भर नहीं करता, अपितु यह सभी समबाहु त्रिभुजों के लिए समान है।

• इसी प्रकार, जैसे हम विभिन्न आकृतियों के लिए परिमाप बदलते हैं, अनुपात P²:A स्थिर रहता है। अनुपात का मान केवल आकृति पर निर्भर करता है, उसके परिमाण पर नहीं करता है।

इस तर्क के आधार पर हम कह सकते हैं कि वृत्त के लिए भी C=परिधि और A=क्षेत्रफल है तो C²:A का अनुपात कोई स्थिर होना चाहिए। परंतु क्या यह स्थिर अर्थात् स्थिरांक है?

🔵 भाग 2/5 - बेबीलोन मिस्र बौधायन सूत्र

1500 सामान्य संवत पूर्व से भी बहुत पहले ही बेबीलोनियों ने वास्तविक माप के माध्यम से यह ज्ञात कर लिया था कि C² स्थिरांक 12 के लगभग समान है अर्थात् C²:A≈12:1 है। अतः वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र A≈C²/12 था।
लगभग 1500 सामान्य संवत पूर्व प्राचीन मिस्रवासियों ने एक और ऐसा सूत्र तैयार किया, जो उपर्युक्त वर्णित सूत्र से मेल खाता है परंतु अधिक उपयुक्त क्षेत्रफल A≈(8/9 d)² है, जहाँ पर d वृत्त का व्यास है।
चूँकि d=2r है, इसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है—
A≈(16/9 r)²? नहीं, सही: A≈(8/9×2r)²=(16/9 r)²? वास्तव में (8/9 d)²=(8/9×2r)²=(16/9 r)²=256/81 r²
अर्थात् क्षेत्रफल A≈256/81 r²
रोचक तथ्य यह है कि यही सूत्र बौधायन शुल्बसूत्र (800 सामान्य संवत पूर्व) में एक वर्ग के निर्माण की ज्यामितीय विधि के माध्यम से प्रकट होता है, जिसका क्षेत्रफल लगभग एक वृत्त के समान है।

प्राचीन यूनानी यह भी जानते थे कि A/r² एक स्थिर अर्थात् स्थिरांक है किंतु वे यह नहीं जानते थे कि स्थिरांक क्या होता है। दो अलग-अलग सभ्यताओं ने इस स्थिरांक का मान लगभग 256/81 माना।
अंततः 250 सामान्य संवत पूर्व में आर्किमिडीज ने दर्शाया कि स्थिरांक π है। (अर्थात् वही स्थिरांक जो वृत्त के परिमाप के सूत्र में आता है), अतः A=πr² है। उन्होंने सूत्र को इस प्रकार व्यक्त किया कि “वृत्त का क्षेत्रफल एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के समान होता है, जिसकी भुजाएँ वृत्त की त्रिज्या और परिधि के समान होती हैं।”

🟢 भाग 3/5 - आर्किमिडीज प्रमाण + नीलकंठ दृश्यांकन

आर्किमिडीज द्वारा यह प्रमाण बहुत ही बुद्धिमत्तापूर्ण ढंग से दिया गया है। यह सभी नियमित बहुभुजों के एक साझा गुण पर आधारित है— एक नियमित बहुभुज द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल बहुभुज के भीतर ठीक से बैठ जाने वाले वृत्त की परिधि के आधे और त्रिज्या के गुणनफल के समान होता है (चित्र 6.36)। (इस सूत्र का प्रमाण त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र के प्रमाण का विस्तार है, जिसे उसके अंतवृत्त की त्रिज्या के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है।)

O r वाला चित्र - बहुभुज के अंदर वृत्त, त्रिज्या r

आर्किमिडीज ने एक ‘विचार प्रयोग’ किया, उन्होंने स्वयं से पूछा कि यदि नियमित बहुभुज की भुजाओं की संख्या बढ़ती जाती है तो क्या होता है? उन्होंने विभिन्न विवरणों पर कार्य किया और इस परिणाम पर पहुँचे कि A=πr² है।

यह संभवतः सबसे दृश्यमान और सरलता से समझ में आने वाला विवरण है कि क्यों त्रिज्या r वाले वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है। वृत्त के क्षेत्रफल का यह सुंदर दृश्यांकन सर्वप्रथम ‘नीलकंठ सोमयाजी’ (लगभग 1500) द्वारा आर्यभटीय पर की गई अपनी टिप्पणी में किया गया है।
चित्र 6.37 — टुकड़ों को पुनर्व्यवस्थित करके एक समांतर चतुर्भुज जैसी रचना निर्मित की जा सकती है
(क) वृत्त को कई त्रिज्यखंडों में काटो (ख) उन्हें एक-दूसरे के उल्टा लगाओ तो समांतर चतुर्भुज बनता है

जैसे-जैसे टुकड़े छोटे होते जाते हैं (चित्र 6.37(ख) में), चाप एक रेखा के और पास होती जाती हैं। इस प्रकार, आगे चलकर यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज के आकार की बन जाती है, जिसमें—
इससे यह तर्क देने में सहायता मिलती है कि वृत्त का क्षेत्रफल, समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के समान होता है।

🟣 भाग 4/5 - 6.10.1 त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

वृत्त का त्रिज्यखंड वह क्षेत्र होता है जो एक चाप और उसके शीर्षबिंदुओं को जोड़ने वाली दोनों त्रिज्याओं से मिलकर बनता है।
वृत्त के त्रिज्यखंड के भीतर का क्षेत्रफल उसी प्रकार ज्ञात किया जा सकता है जिस प्रकार हमने वृत्ताकार चाप की लंबाई ज्ञात की थी। चित्र 6.39 और 6.40 का अवलोकन कीजिए।

चित्र 6.38 — एक वृत्त का त्रिज्यखंड - O केंद्र, θ° कोण, A B चाप

समरूपता से हम देखते हैं कि अर्द्धवृत्ताकार डिस्क का क्षेत्रफल 180/360=1/2 वृत्त का क्षेत्रफल अर्थात् 1/2 πr² है।
इस परिणाम को समझने के लिए हम वृत्त की परावर्तन समरूपता का उपयोग कर सकते हैं।
समरूपता से हम देखते हैं कि एक-चौथाई अर्थात् चतुर्थांश वृत्ताकार डिस्क का क्षेत्रफल 90/360=1/4 वृत्त का क्षेत्रफल अर्थात् 1/4 πr² है। हम परिणाम को समझने के लिए वृत्त की चौथाई समरूपता का भी उपयोग कर सकते हैं।

उपरोक्त का विश्लेषण करने पर हमें व्यापक त्रिज्यखंड के लिए त्वरित वांछित सूत्र प्राप्त हो जाता है।

🟠 भाग 5/5 - खंड (Segment) + सारांश सूत्र

त्रिज्यखंड से संबंधित, वृत्ताकार क्षेत्र का एक भाग होता है, जिसे खंड कहते हैं। वृत्त का खंड वह क्षेत्र होता है जो एक चाप और उसके शीर्षबिंदुओं को मिलाने वाली जीवा से मिलकर बनता है।

मनुष्य वृत्त का अधिक उपयोग क्यों? - व्यावहारिक: पहिया, घड़ा, कुआँ घूमने में आसान, समान दूरी, मजबूती। अन्य कारण: सौंदर्य, समरूपता, अनंत सममिति, धार्मिक प्रतीक सूर्य-चंद्र।
वस्तुएँ: पहिया, चाक, घड़ा, थाली, ढोल, सिक्का, चूड़ी।

🔴 भाग 1/5 - Q1-Q3

Q1. यदि त्रिज्यखंड का कोण 60° है तो 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: त्रिज्यखंड क्षेत्रफल =θ/360×πr²
=60/360×22/7×7×7=1/6×154=25.666 सेमी²=77/3
उत्तर 25.67 वर्ग सेमी

Q2. उस वृत्त के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 44 सेमी है।
हल: परिधि 2πr=44 =>r=7 सेमी
चतुर्थांश=1/4πr²=1/4×22/7×49=38.5 वर्ग सेमी
उत्तर 38.5 वर्ग सेमी

Q3. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 7 सेमी है। 10 मिनट में सुई द्वारा तय की गई दूरी / क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: 60 मिनट=360°, 10 मिनट=60°
(i) तय दूरी (चाप)=θ/360×2πr=60/360×2×22/7×7=7.333 सेमी
(ii) तय क्षेत्रफल=θ/360×πr²=60/360×22/7×49=25.666 वर्ग सेमी
उत्तर चाप 7.33 सेमी, क्षेत्रफल 25.67 वर्ग सेमी

🔵 भाग 2/5 - Q4-Q5

Q4. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर 90° का कोण बनाती है। संगत क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए— (i) लघु त्रिज्यखंड (जो मध्यबिंदु पर 90° का कोण बनाता है) (ii) दीर्घ त्रिज्यखंड (जो मध्यबिंदु पर 270° का कोण बनाता है)। (π≈3.14 का उपयोग कीजिए।)
हल: r=10
(i) लघु त्रिज्यखंड=90/360×πr²=1/4×3.14×100=78.5 वर्ग सेमी
लघु खंड=त्रिज्यखंड-त्रिभुज=78.5-1/2×10×10=78.5-50=28.5 वर्ग सेमी
(ii) दीर्घ त्रिज्यखंड=270/360×πr²=3/4×314=235.5 वर्ग सेमी
दीर्घ खंड=πr²-लघु खंड=314-28.5=285.5 वर्ग सेमी
उत्तर लघु त्रिज्यखंड 78.5, दीर्घ 235.5, लघु खंड 28.5 वर्ग सेमी

Q5. 15 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। वृत्त के संगत लघु एवं दीर्घ खंडों का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: r=15, θ=60°
त्रिज्यखंड=60/360×πr²=1/6×22/7×225=117.857 वर्ग सेमी (3.14 से 117.75)
त्रिभुज OAB समबाहु (r=15, कोण 60°) => क्षेत्रफल=√3/4 r²=0.433×225=97.427 वर्ग सेमी
लघु खंड=त्रिज्यखंड-त्रिभुज=117.857-97.427=20.43 वर्ग सेमी
दीर्घ खंड=πr²-लघु खंड=706.857-20.43=686.427 वर्ग सेमी (π=22/7)
उत्तर लघु खंड ≈20.43, दीर्घ ≈686.43 वर्ग सेमी

🟢 भाग 3/5 - Q6-Q7

Q6. एक कार में दो वाइपर लगे हैं जो एक-दूसरे को आपस में आच्छादित नहीं करते हैं। प्रत्येक वाइपर के ब्लेड की लंबाई 28 सेमी है और यह 120° के कोण पर घूमता है। ब्लेड के प्रत्येक चक्र में साफ किए गए कुल क्षेत्रफल को ज्ञात कीजिए।
हल: एक वाइपर का क्षेत्रफल=त्रिज्यखंड=120/360×πr²=1/3×22/7×28×28
=1/3×2464=821.333 वर्ग सेमी
दो वाइपर=2×821.333=1642.666 वर्ग सेमी
उत्तर 1642.67 वर्ग सेमी

Q7. त्रिज्या r वाले एक वृत्त की एक जीवा वृत्त के केंद्र पर 60° का कोण बनाती है। दर्शाइए कि वृत्त के संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल r²(π/6-√3/4) के समान है।
हल: त्रिज्यखंड=60/360×πr²=πr²/6
त्रिभुज OAB समबाहु भुजा r => क्षेत्रफल=√3/4 r²
लघु खंड=त्रिज्यखंड-त्रिभुज=πr²/6-√3/4 r²=r²(π/6-√3/4)
सिद्ध हुआ

🟣 भाग 4/5 - Q8-Q9

Q8. एक समबाहु त्रिभुज r त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि त्रिभुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 3√3/4π≈0.413 के समान है।
हल: समबाहु त्रिभुज वृत्त में अंतर्निहित, केंद्र से शीर्ष दूरी r
भुजा a=√3 r? प्रमाण: त्रिभुज की ऊँचाई =3r/2, भुजा=2/√3×ऊँचाई=√3 r
त्रिभुज क्षेत्रफल=√3/4 a²=√3/4×3r²=3√3/4 r²
वृत्त क्षेत्रफल=πr²
अनुपात= (3√3/4 r²)/πr²=3√3/4π=3×1.732/12.566=0.413
सिद्ध अनुपात 3√3/4π≈0.413

Q9. एक वर्ग r त्रिज्या वाले एक वृत्त में अंतर्निहित है। दर्शाइए कि वर्ग के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 2/π≈0.637 के समान है।
हल: वर्ग वृत्त में अंतर्निहित, विकर्ण=2r
भुजा= विकर्ण/√2=2r/√2=√2 r
वर्ग क्षेत्रफल=भुजा²=2r²
वृत्त क्षेत्रफल=πr²
अनुपात=2r²/πr²=2/π=0.6366
सिद्ध अनुपात 2/π≈0.637

🟠 भाग 5/5 - Q10 अंतिम

Q10. एक r त्रिज्या वाले वृत्त में एक षट्भुज अंतर्निहित है। दर्शाइए कि षट्भुज के क्षेत्रफल और वृत्त के क्षेत्रफल का अनुपात 3√3/2π=0.827 के समान है। क्या आप समझ सकते हैं कि इसका उत्तर, प्रश्न 8 के उत्तर के ठीक दोगुना क्यों है?
हल: नियमित षट्भुज 6 समबाहु त्रिभुजों से बनता है जिनकी भुजा r है।
एक समबाहु त्रिभुज भुजा r का क्षेत्रफल=√3/4 r²
षट्भुज क्षेत्रफल=6×√3/4 r²=3√3/2 r²
वृत्त क्षेत्रफल=πr²
अनुपात= (3√3/2 r²)/πr²=3√3/2π=3×1.732/6.283=0.8269≈0.827
सिद्ध अनुपात 3√3/2π≈0.827

क्यों प्रश्न 8 का दोगुना?
प्रश्न 8 में समबाहु त्रिभुज अंतर्निहित था जिसका क्षेत्रफल 3√3/4 r² था। षट्भुज में 6 समबाहु त्रिभुज हैं, जबकि बड़ा समबाहु त्रिभुज (प्रश्न 8) केवल 3 छोटे समबाहु त्रिभुजों के बराबर? वास्तव में वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल, षट्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है क्योंकि षट्भुज=6 छोटे त्रिभुज, बड़ा त्रिभुज=3 छोटे त्रिभुज। इसलिए अनुपात दोगुना।

🔴 भाग 1/7 - Q1-Q4

Q1. बीजगणित में सर्वसमिकाओं को कभी-कभी क्षेत्रफल के संबंधों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए— चित्र 6.41 — एक सर्वसमिका के क्षेत्रफल का प्रतिदर्श - दर्शाया चित्र सर्वसमिका (a+b)²=a²+2ab+b² के अनुरूप है। क्या आप बता सकते हैं, कैसे? (a+b)(a-b)=a²-b² और (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca सर्वसमिकाओं के अनुरूप आकृतियाँ बनाइए।
हल: (a+b)² वाला वर्ग a+b भुजा का वर्ग - उसे a², b² और 2ab के आयतों में बाँटो। (a+b)(a-b) में बड़ा वर्ग a² में से b² काटो तो आयत (a+b)(a-b) बचे। (a+b+c)² में 3 वर्ग a²,b²,c² और 6 आयत 2ab,2bc,2ca।

Q2. एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 40 सेमी है। इसकी समान भुजाएँ 15 सेमी लंबी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आधार=40-15-15=10 सेमी, s=20
क्षेत्रफल=√[20×5×5×10]=√5000=50√2≈70.71 वर्ग सेमी
उत्तर 50√2 वर्ग सेमी

Q3. एक समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 10 सेमी है और इसका क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है। समान भुजाओं की लंबाई क्या होगी?
क्षेत्रफल=1/2×आधार×ऊँचाई=60 =>1/2×10×h=60 =>h=12 सेमी
समान भुजा=√[(10/2)²+12²]=√[25+144]=13 सेमी
उत्तर 13 सेमी

Q4. एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है। इसकी एक भुजा की लंबाई 12 सेमी है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
समकोण त्रिभुज, एक भुजा 12 - दो स्थिति: 12 आधार या लंब? मानो आधार 12, क्षेत्रफल 1/2×12×h=54 =>h=9 सेमी
कर्ण=√[12²+9²]=15 सेमी, परिमाप=12+9+15=36 सेमी
उत्तर 36 सेमी (12 आधार मानने पर)

🔵 भाग 2/7 - Q5-Q9

Q5. एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 2:3:4 है और इसका परिमाप 45 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
भुजाएँ 2x,3x,4x =>9x=45 =>x=5 =>10,15,20 सेमी, s=22.5
क्षेत्रफल=√[22.5×12.5×7.5×2.5]=√5273.43≈72.61 वर्ग सेमी

Q6. एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई 7 सेमी, 24 सेमी और 25 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल दो भिन्न-भिन्न विधियों से ज्ञात कीजिए।
विधि1: 7²+24²=25² => समकोण त्रिभुज, क्षेत्रफल=1/2×7×24=84 वर्ग सेमी
विधि2: हीरोन s=28, √[28×21×4×3]=√7056=84 वर्ग सेमी
उत्तर 84 वर्ग सेमी दोनों विधि से

Q7. यदि किसी साइकिल के पहिए का व्यास 60 सेमी है तो पहिए के 100 बार घूर्णन के पश्चात साइकिल चालक कितनी दूरी तय करेगा?
परिधि=πd=22/7×60=188.57 सेमी, 100 चक्कर=18857 सेमी=188.57 मी
उत्तर 188.57 मीटर

Q8. उस वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसकी परिधि 66 सेमी है।
2πr=66 =>r=10.5 सेमी, चतुर्थांश=1/4×22/7×110.25=86.625 वर्ग सेमी
उत्तर 86.625 वर्ग सेमी

Q9. एक कार के पहिए की बाहरी त्रिज्या 28 सेमी है। पहिए के एक पूर्ण घूर्णन के पश्चात कार कितनी दूरी तय करती है और एक किलोमीटर की यात्रा के दौरान पहिया कितनी बार घूमता है, इसकी गणना कीजिए।
परिधि=2πr=176 सेमी=1.76 मी, 1 किमी=1000 मी/1.76=568.18 चक्कर
उत्तर 1.76 मी प्रति चक्कर, 568.18 चक्कर प्रति किमी

🟢 भाग 3/7 - Q10-Q15

Q10. दो आयतों का क्षेत्रफल और परिमाप समान है। क्या इसका अर्थ यह है कि वे दोनों एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।
उत्तर: नहीं। उदाहरण: 6×1 आयत परिमाप14 क्षेत्रफल6, और 4×? नहीं। 6×2 परिमाप16। उदाहरण 8×2 परिमाप20 क्षेत्र16, 4×4 वर्ग परिमाप16 नहीं। सही उदाहरण: 6×2=12 क्षेत्र परिमाप16, 4×? 4×? नहीं। लेकिन 6×1=6 क्षेत्र14 परिमाप, 3×2=6 क्षेत्र10 परिमाप अलग। समान क्षेत्रफल और परिमाप वाले आयत सर्वांगसम ही होते हैं क्योंकि a+b=P/2 और ab=A => a,b द्विघात समीकरण के मूल, दो ही हल a,b और b,a। हाँ सर्वांगसम होते हैं यदि भुजाएँ वास्तविक हों। पर यदि एक आयत 6×4=24 परिमाप20, दूसरा? 8×2=16 नहीं। वास्तव में यदि परिमाप और क्षेत्रफल समान तो भुजाएँ समान ही होंगी, इसलिए सर्वांगसम।

Q11. आप जानते हैं कि समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल आधार×ऊँचाई होता है। इस सूत्र और आकृति का उपयोग करते हुए दर्शाइए कि समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और ऊँचाई का गुणनफल, अर्थात् 1/2(a+b)h होता है। चित्र 6.42 — समलंब भुजाएँ a और b, ऊँचाई h
प्रमाण: समलंब को विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटो, क्षेत्रफल=1/2 a h+1/2 b h=1/2(a+b)h

Q12. एक समलंब चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में विभाजित करके दर्शाइए कि इसका क्षेत्रफल समांतर भुजाओं के योग का आधा और ऊँचाई का गुणनफल होता है (जैसा कि सूत्र में ऊपर दिया गया है)।
वही Q11 का प्रमाण।

Q13. दर्शाइए कि समलंब चतुर्भुज की दो समान प्रतियों का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज कैसे निर्मित कर सकते हैं। इससे हमें समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल का सूत्र कैसे प्राप्त होगा?
दो समान समलंब को उल्टा जोड़ो तो समांतर चतुर्भुज बनता है जिसका आधार (a+b) और ऊँचाई h, क्षेत्रफल (a+b)h, इसलिए एक समलंब का आधा =1/2(a+b)h

Q14. दर्शाइए कि पतंग का क्षेत्रफल उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है। इन दोनों तरह से दर्शाइए— (i) बीजगणित का उपयोग करके (ii) ज्यामिति का उपयोग करके
पतंग के विकर्ण d1,d2, एक विकर्ण दूसरे को समकोण पर काटता है। क्षेत्रफल=1/2 d1 d2

Q15. सर्वांगसम आकृतियों को आपस में जोड़ने से संबंधित तीन प्रश्न दिए गए हैं— (i) आयत ABCD की भुजाएँ a और b हैं और आयत PQRS की भुजाएँ 2a और 2b हैं। दर्शाइए कि PQRS का क्षेत्रफल ABCD के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका अर्थ यह है कि आयत ABCD की चार प्रतिआकृतियाँ आयत PQRS में समाहित हो सकती हैं? परीक्षण करके देखिए!
(ii) ΔABC की भुजाएँ a,b,c हैं और ΔPQR की भुजाएँ 2a,2b,2c हैं। दर्शाइए कि ΔPQR का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का चार गुना है। क्या इसका यह अर्थ है कि ΔPQR में ΔABC की 4 प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं?
(iii) ΔABC की भुजाएँ a,b,c हैं और ΔPQR की भुजाएँ 3a,3b,3c हैं। दर्शाइए कि ΔPQR का क्षेत्रफल ΔABC के क्षेत्रफल का नौ गुना है। क्या इसका यह अर्थ है कि ΔPQR में ΔABC की नौ प्रतिआकृतियाँ समाहित हो सकती हैं?
हल: (i) क्षेत्रफल PQRS=4ab=4×ABCD, हाँ 4 आयत समा सकते हैं। (ii) समरूप त्रिभुज, क्षेत्रफल अनुपात भुजा अनुपात का वर्ग=4, हाँ 4 त्रिभुज समा सकते हैं। (iii) अनुपात 9, हाँ 9 त्रिभुज समा सकते हैं।

🟣 भाग 4/7 - Q16-Q19

Q16. चित्र 6.43 — त्रिभुज का कितना भाग छायांकित है? चित्र 6.44 — वर्ग का कितना भाग छायांकित है?
(चित्र अनुसार अनुमान) त्रिभुज में 1/2, वर्ग में 1/2 या 1/4 - चित्र देखकर गिनना।

Q17. चित्र 6.45 — आयत का कितना भाग वृत्तों द्वारा आच्छादित है? चित्र 6.46 — आयत का कितना भाग वृत्तों द्वारा आच्छादित है?
वृत्तों द्वारा घेरा गया भाग ≈78.5% यदि वृत्त सटे हों।

Q18. उपरोक्त दी गई सूचनाओं का उपयोग करते हुए दर्शाई गई विधि से आप वृत्तों द्वारा घेरे गए क्षेत्रफल के विषय में अनुमान लगाइए। आप अपने अनुमान का विशिष्ट स्थितियों के लिए परीक्षण कीजिए— 10 वृत्त, 20 वृत्त, 50 वृत्त। आप अपने अनुमान को सिद्ध कीजिए।
अनुमान: बड़े वृत्त में छोटे वृत्तों का पैकिंग घनत्व ≈0.785।

Q19. चित्र 6.47 — नौ एक समान आयत एक साथ रखे हुए हैं चित्र में नौ एक समान आयतों को जोड़कर एक बड़ा आयत निर्मित किया गया है, जिसका क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी है। प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल: मानो छोटा आयत a×b, 9 आयत से बड़ा आयत। चित्र अनुसार 5b=a+b? मानक हल: बड़ा आयत क्षेत्रफल 72, छोटा आयत 8 वर्ग सेमी। मानो a=6,b=? चित्र में 3 छोटे की लंबाई = बड़ा आयत? हल: प्रत्येक छोटे का परिमाप 10 सेमी? विशिष्ट चित्र से: यदि 5 छोटे की चौड़ाई = बड़े की लंबाई आदि। सामान्य उत्तर: प्रत्येक छोटे का परिमाप 12 सेमी (2×(6+2)=16?) चित्र के बिना अनुमान: यदि 9 आयत 72 तो एक 8, भुजाएँ 4 और 2, परिमाप 12 सेमी।
उत्तर प्रत्येक छोटे आयत का परिमाप 12 सेमी (4×2 वाले आयत के लिए)

🟠 भाग 5/7 - Q20-Q22

Q20. चित्र 6.48 — एक शीर्ष से विपरीत भुजा के विभाजन बिंदुओं तक जाने वाली रेखाएँ दर्शाइए कि छायांकित नीले त्रिभुज और छायांकित लाल त्रिभुज का क्षेत्रफल समान है। नीले त्रिभुज को कुछ टुकड़ों (भागों) में काटने और उन भागों को इस प्रकार से व्यवस्थित करने की विधि ढूँढिए, जिससे लाल त्रिभुज आच्छादित हो जाए।
हल: समान आधार और समान ऊँचाई वाले त्रिभुजों का क्षेत्रफल समान। नीले को काटकर लाल में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है - क्षेत्रफल समान होने का प्रमाण।

Q21. चित्र 6.49 — एक चतुर्थांश वृत्त और दो अर्द्धवृत्त चित्र में एक वर्ग के भीतर एक चतुर्थांश वृत्त दर्शाया गया है। इसका केंद्र एक शीर्ष पर है और यह दो आसन्न शीर्षों से होकर गुजरता है। दो आसन्न भुजाओं पर व्यास के रूप में दो अर्द्धवृत्त हैं। ये छायांकित क्षेत्र A और B बनाते हैं। दर्शाइए कि A और B के पास समान क्षेत्र है।
हल: वर्ग भुजा r, चतुर्थांश क्षेत्रफल 1/4 πr², दो अर्द्धवृत्त प्रत्येक 1/2 π(r/2)²=πr²/8, दो का योग πr²/4। वर्ग - चतुर्थांश = वर्ग - दो अर्द्धवृत्त + A - B? गणना से A=B सिद्ध होता है। लून (Hippocrates) का प्रसिद्ध परिणाम।

Q22. चित्र 6.50 में 2 इकाई भुजा वाले वर्ग के भीतर चार अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं। इन अर्द्धवृत्तों के केंद्र, भुजाओं के मध्यबिंदु हैं। ये चार पंखुड़ियों वाला एक पुष्प बनाते हैं (जिन्हें नीले रंग से दर्शाया गया है)। इस पुष्प का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: भुजा 2, अर्द्धवृत्त त्रिज्या 1
पुष्प का परिमाप=4×अर्द्धवृत्त परिधि=4×πr=4×π×1=4π इकाई
पुष्प क्षेत्रफल=4×अर्द्धवृत्त - वर्ग? Actually 4 अर्द्धवृत्त का योग 2πr²=2π, वर्ग 4, पुष्प=4×अर्द्धवृत्त - (वर्ग+पुष्प)? सरल: पुष्प क्षेत्रफल=2π-? सही सूत्र: 4 अर्द्धवृत्त क्षेत्रफल=2π, वर्ग में 2 बार गिनने पर पुष्प अतिरिक्त, इसलिए पुष्प=2π-4? नहीं। सही: 4 अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल=2×π×1²=2π, वर्ग क्षेत्रफल 4, पुष्प=4×अर्द्धवृत्त - वर्ग =2π-? Actually 4 अर्द्धवृत्त मिलकर वर्ग को पूरा ढकते हैं और पुष्प दो बार ढका जाता है, इसलिए पुष्प=4×अर्द्धवृत्त - वर्ग =2π-4? नहीं 4 अर्द्धवृत्त=2π, इसलिए पुष्प=2π-4? पर 2π<4। इसलिए पुष्प=2×(अर्द्धवृत्तों का अतिच्छादन)। सही गणना: पुष्प क्षेत्रफल=2(π-2)? नहीं। मानक उत्तर: पुष्प क्षेत्रफल=2π-4? यदि भुजा2 तो r1? सही उत्तर: पुष्प परिमाप 4π, क्षेत्रफल 2(π-2)? =2π-4≈2.28। यदि वर्ग2 तो पुष्प=4×(अर्द्धवृत्त का खंड)। मानक किताब उत्तर: परिमाप 4π, क्षेत्रफल 2π वर्ग इकाई? चित्र के अनुसार अलग।
उत्तर परिमाप 4π≈12.57, क्षेत्रफल 2(π-? ) ≈2.28 वर्ग इकाई (चित्र अनुसार 2π)

🔵 भाग 6/7 - Q23-Q25

Q23. चित्र 6.51 में हम दो सकेंद्रीय वृत्तों में देखते हैं कि उनका एक ही केंद्र O है। बड़े वृत्त की एक जीवा BC खींची गई है जो छोटे वृत्त को बिंदु A पर स्पर्श करती है। BC की लंबाई l है। दर्शाइए कि दोनों वृत्तों के मध्य स्थित हरे भाग का क्षेत्रफल 1/4 πl² है।
हल: OA⊥BC, OA=r छोटा, OB=R बड़ा
AB=l/2, R²=r²+(l/2)² =>R²-r²=l²/4
वलय क्षेत्रफल=π(R²-r²)=πl²/4
सिद्ध वलय=πl²/4

Q24. चित्र 6.52 में समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर अर्द्धवृत्त खींचे गए हैं, जैसा आकृति में दर्शाया गया है। दर्शाइए कि क्षेत्रफल(A)+क्षेत्रफल(B)=क्षेत्रफल(C) है।
हल: समकोण त्रिभुज भुजाएँ a,b,c (c कर्ण), a²+b²=c²
अर्द्धवृत्त क्षेत्रफल ∝ भुजा², इसलिए A+B=C - हिप्पोक्रेट्स लून। बौधायन-पाइथागोरस से सिद्ध।
सिद्ध A+B=C

Q25. चित्र 6.53 में दो वृत्त दर्शाए गए हैं जो एक-दूसरे के केंद्रों से होकर गुजरते हैं। दोनों वृत्तों द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल उभयनिष्ठ त्रिज्या r के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल: दो समान वृत्त त्रिज्या r, केंद्र दूरी r
उभयनिष्ठ क्षेत्र=2×खंड (120° का)
एक खंड= r²(π/3-√3/4)
दो खंड? Actually लेंस क्षेत्रफल=2πr²/3-√3/2 r² =r²(2π/3-√3/2)
उत्तर लेंस क्षेत्रफल =r²(2π/3-√3/2)

🟣 भाग 7/7 - Q26-Q27 अंतिम

Q26. चित्र 6.54 में हम एक आयत के भीतर तीन त्रिभुज देख रहे हैं। दर्शाइए कि इन त्रिभुजों का क्षेत्रफल 2 A C B C? ... चित्र 6.54 - B C A
हल: आयत के भीतर तीन त्रिभुजों का योग आयत के क्षेत्रफल का आधा या विशिष्ट अनुपात - चित्र अनुसार सिद्ध करना कि क्षेत्रफल योग =? आयत के विकर्ण और मध्यबिंदु गुण से।

Q27. चित्र में हम एक-चौथाई वृत्त, एक अर्द्धवृत्त और एक त्रिभुज द्वारा निर्मित दो छायांकित क्षेत्र देखते हैं— चित्र 6.55 - E F D C O A B दर्शाइए कि दोनों छायांकित क्षेत्रों का क्षेत्रफल समान है।
हल: एक-चौथाई वृत्त क्षेत्रफल=1/4 πr², अर्द्धवृत्त=1/2 π(r/2)²=πr²/8, त्रिभुज=1/2 r², दोनों छायांकित क्षेत्र समान - लून के समान प्रमाण से A=B।
सिद्ध दोनों छायांकित समान

🔴 भाग 1/6 - MCQ 1-5 - परिमाप

Q1. एक आयत का परिमाप 40 इकाई है और लंबाई 12 इकाई है। चौड़ाई क्या होगी?
A) 8 B) 10 C) 6 D) 14
हल: परिमाप=2(l+b)=40 =>l+b=20 =>12+b=20 =>b=8
उत्तर A) 8 इकाई

Q2. 40 परिमाप वाले कितने आयत बन सकते हैं (भुजा पूर्णांक जरूरी नहीं)?
A) 1 B) 10 C) अनंत D) 20
हल: l+b=20, l>0,b>0 अनंत मान संभव
उत्तर C) अनंत

Q3. 40 परिमाप वाले आयत में सबसे अधिक क्षेत्रफल किसका होगा?
A) 12×8 B) 10×10 C) 15×5 D) 18×2
हल: समान परिमाप में वर्ग का क्षेत्रफल सबसे अधिक, 10×10=100
उत्तर B) 10×10 वर्ग

Q4. एक वर्ग का परिमाप 16 है, क्षेत्रफल?
A) 16 B) 12 C) 20 D) 8
हल: भुजा=4, क्षेत्रफल=16
उत्तर A) 16

Q5. दो आयतों का परिमाप और क्षेत्रफल समान है तो वे?
A) सर्वांगसम नहीं B) सर्वांगसम हैं C) कभी-कभी D) पता नहीं
हल: l+b=P/2 और lb=A से l,b द्विघात के मूल, केवल दो हल a,b और b,a - सर्वांगसम
उत्तर B) सर्वांगसम हैं

🔵 भाग 2/6 - MCQ 6-10 - त्रिभुज हीरोन

Q6. त्रिभुज की भुजाएँ 3,4,5, क्षेत्रफल?
A) 6 B) 12 C) 10 D) 20
हल: 3²+4²=5² समकोण, 1/2×3×4=6 या हीरोन s6 √[6×3×2×1]=6
उत्तर A) 6 वर्ग इकाई

Q7. समबाहु त्रिभुज भुजा a, क्षेत्रफल?
A) a² B) √3/4 a² C) √3/2 a² D) a²/2
उत्तर B) √3/4 a²

Q8. त्रिभुज भुजाएँ 8,11, परिमाप 32, क्षेत्रफल?
A) 8√30 B) 30 C) 40 D) 20
हल: तीसरी=13 s16 √[16×8×5×3]=8√30
उत्तर A) 8√30

Q9. त्रिभुज भुजाएँ अनुपात 3:5:7 परिमाप 300, क्षेत्रफल?
A) 1500√3 B) 1000 C) 2000 D) 1500
उत्तर A) 1500√3 वर्ग मी

Q10. समद्विबाहु त्रिभुज परिमाप 40 समान भुजा 15, क्षेत्रफल?
A) 50√2 B) 60 C) 70 D) 80
उत्तर A) 50√2

🟢 भाग 3/6 - MCQ 11-15 - चतुर्भुज समलंब

Q11. समलंब समांतर भुजाएँ 40 और 20 असमांतर 26-26, क्षेत्रफल?
A) 720 B) 600 C) 800 D) 500
हल: h=√[26²-10²]=24, 1/2×60×24=720
उत्तर A) 720 वर्ग सेमी

Q12. समचतुर्भुज एक विकर्ण दूसरे से दोगुना, क्षेत्रफल 128, छोटा विकर्ण?
A) 8√2 B) 8 C) 16 D) 12
उत्तर A) 8√2 सेमी

Q13. समांतर चतुर्भुज विकर्ण पर O, ΔPSO और ΔPQO?
A) समान B) असमान C) दोगुना D) आधा
उत्तर A) समान

Q14. चतुर्भुज के मध्यबिंदु जोड़ने से बना समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल?
A) आधा B) बराबर C) दोगुना D) चौथाई
उत्तर A) आधा - Varignon

Q15. वर्ग में अंदर बिंदु P, (PAB+PCD) और (PBC+PDA) अनुपात?
A) 1:1 B) 2:1 C) 1:2 D) 3:1
उत्तर A) 1:1

🟣 भाग 4/6 - MCQ 16-20 - वृत्त परिधि

Q16. कार पहिया व्यास 56 सेमी, 1 चक्कर दूरी?
A) 176 सेमी B) 88 सेमी C) 200 सेमी D) 100 सेमी
उत्तर A) 176 सेमी =πd

Q17. पहिया व्यास 60 सेमी, 100 चक्कर दूरी?
A) 188.5 मी B) 200 मी C) 150 मी D) 100 मी
उत्तर A) 188.57 मी

Q18. वृत्त परिधि 44, चतुर्थांश क्षेत्रफल?
A) 38.5 B) 40 C) 30 D) 50
उत्तर A) 38.5 वर्ग सेमी

Q19. वृत्त परिधि 66, चतुर्थांश?
A) 86.625 B) 80 C) 90 D) 100
उत्तर A) 86.625 वर्ग सेमी

Q20. त्रिज्यखंड कोण 60° r7 क्षेत्रफल?
A) 25.67 B) 20 C) 30 D) 15
उत्तर A) 25.67 वर्ग सेमी

🟠 भाग 5/6 - MCQ 21-25 - खंड वाइपर

Q21. r10 जीवा 90°, लघु त्रिज्यखंड?
A) 78.5 B) 80 C) 70 D) 60
उत्तर A) 78.5 वर्ग सेमी

Q22. r15 जीवा 60°, लघु खंड?
A) 20.43 B) 30 C) 40 D) 10
उत्तर A) 20.43 वर्ग सेमी

Q23. वाइपर ब्लेड 28 सेमी 120°, एक वाइपर क्षेत्रफल?
A) 821.33 B) 800 C) 900 D) 700
उत्तर A) 821.33 वर्ग सेमी

Q24. दो वाइपर कुल क्षेत्रफल?
A) 1642.66 B) 1600 C) 1700 D) 1500
उत्तर A) 1642.66 वर्ग सेमी

Q25. समबाहु त्रिभुज r वृत्त में, क्षेत्रफल अनुपात त्रिभुज/वृत्त?
A) 3√3/4π≈0.413 B) 0.5 C) 0.6 D) 0.3
उत्तर A) 0.413

🔵 भाग 6/6 - MCQ 26-30 - अंतिम अग्निवीर

Q26. वर्ग r वृत्त में, अनुपात वर्ग/वृत्त?
A) 2/π≈0.637 B) 0.5 C) 0.4 D) 0.7
उत्तर A) 0.637

Q27. षट्भुज r वृत्त में, अनुपात?
A) 3√3/2π≈0.827 B) 0.5 C) 0.9 D) 0.6
उत्तर A) 0.827 - Q25 का दोगुना

Q28. दो सकेंद्रीय वृत्त, बड़ी जीवा l छोटे को स्पर्श, वलय क्षेत्रफल?
A) πl²/4 B) πl²/2 C) πl² D) l²
उत्तर A) πl²/4

Q29. आयत 14 सेमी फूल, r7, बाहरी परिमाप?
A) 44 B) 88 C) 22 D) 66
उत्तर A) 44 बाहरी, कुल 88

Q30. ब्रह्मगुप्त सूत्र, चक्रीय चतुर्भुज a,b,c,d, s=(a+b+c+d)/2, क्षेत्रफल?
A) √[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)] B) s² C) ab D) (a+b)(c+d)
उत्तर A) √[(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)]