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Ch5 - मैं हूँ गो-गो, ऊपर-नीचे - भाग 1/4 - परिचय - Functions
🔴 भाग 1/4 - गो-गो क्या? ऊपर-नीचे क्या?
गो-गो कौन? - हेडिंग
गो-गो एक मशीन है। एक तरफ से संख्या डालो दूसरी तरफ से नई संख्या निकलती है। डालो 2 निकलेगा 4, डालो 3 निकलेगा 6। यह मशीन नियम से चलती है।Input → [ गो-गो मशीन ] → Output
2 → [ ×2 ] → 4
3 → [ ×2 ] → 6
गो-गो = Function
ऊपर-नीचे क्या? - हेडिंग
Input को x कहते हैं, Output को y। x बढ़ता है तो y ऊपर जाता है या नीचे जाता है। ग्राफ इसी ऊपर-नीचे को दिखाता है।x → y, x बढ़े y बढ़े तो ऊपर, x बढ़े y घटे तो नीचे
ग्राफ = ऊपर-नीचे की तस्वीर
ग्राफ = ऊपर-नीचे की तस्वीर
🔵 भाग 2/4 - फलन Function परिभाषा
फलन क्या? - हेडिंग
हर Input के लिए एक ही Output हो तो फलन कहलाता है। एक Input से दो Output नहीं निकल सकते।f(x) = 2x
f(1)=2 , f(2)=4 , f(3)=6
हर x का एक y
1 Input → 1 Output = Function
1 Input → 2 Output = Not Function
डोमेन रेंज - हेडिंग
जो डाल सकते हो वह डोमेन। जो निकलता है वह रेंज।डोमेन = Input की दुनिया
रेंज = Output की दुनिया
डोमेन = x के मान, रेंज = y के मान
f(x)=2x डोमेन सभी संख्या रेंज भी सभी
f(x)=2x डोमेन सभी संख्या रेंज भी सभी
🟢 भाग 3/4 - ग्राफ क्या? ऊपर-नीचे
ग्राफ कैसे बनता? - हेडिंग
x और y के जोड़े (x,y) बिंदु बनाते हैं। बिंदुओं को जोड़ो ग्राफ बनता है।y=2x का ग्राफ: (0,0), (1,2), (2,4)... सीधी रेखा ऊपर जाती है।
y=2x सीधी रेखा ऊपर
y=x² U आकार ऊपर
y=-x नीचे
ऊपर = बढ़ना, नीचे = घटना
बढ़ता घटता - हेडिंग
x बढ़े y बढ़े तो बढ़ता Function।x बढ़े y घटे तो घटता Function।
y=x बढ़ता, y=-x घटता, y=x² पहले घटता फिर बढ़ता।
🟣 भाग 4/4 - प्रकार Trick
फलन के प्रकार - हेडिंग
1. अचर फलन: y=3 हमेशा 3, सीधी रेखा समानांतर।2. रैखिक फलन: y=2x+3 सीधी रेखा ऊपर-नीचे।
3. द्विघात फलन: y=x² परवलय U आकार।
4. घन फलन: y=x³ S आकार।
y=c अचर - सीधी क्षैतिज
y=mx+c रैखिक - सीधी तिरछी
y=x² द्विघात - U परवलय
y=x³ घन - S आकार
गो-गो = f(x), ऊपर-नीचे = ग्राफ
Trick - हेडिंग
Function जाँच: Vertical Line Test। ग्राफ पर खड़ी रेखा खींचो एक बार काटे तो Function दो बार काटे तो नहीं।
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Ch5 - मैं हूँ गो-गो - भाग 2/4 - फॉर्मूले ग्राफ सिद्धांत
🔴 भाग 1/4 - रैखिक फलन y=mx+c
रैखिक फलन सिद्धांत - हेडिंग
y=mx+c सीधी रेखा। m ढाल ऊपर-नीचे कितना तेज़। c जहाँ y अक्ष काटे।y = mx + c
m = ढाल = (y2-y1)/(x2-x1)
m>0 ऊपर जाता, m<0 नीचे जाता, m=0 क्षैतिज
c = y-अंतःखंड x=0 पर y
उदा: y=2x+3 m=2 ऊपर c=3
y=2x+3: x=0 y=3, x=1 y=5 बिंदु (0,3) (1,5) जोड़ो रेखा।
ढाल निकालना - हेडिंग
ढाल = ऊपर/आगे। 1 आगे 2 ऊपर तो ढाल 2।y=x ढाल1 45°, y=2x ढाल2 ज्यादा खड़ी ऊपर।
🔵 भाग 2/4 - द्विघात y=x² परवलय
y=x² सिद्धांत - हेडिंग
y=x² U आकार। x=0 पर सबसे नीचे 0। बाएँ घटता दाएँ बढ़ता।y = x²
बिंदु: (-2,4) (-1,1) (0,0) (1,1) (2,4)
U परवलय, शीर्ष (0,0) सबसे नीचे
y = -x² उल्टा U सबसे ऊपर
y = x²+2x+1 = (x+1)² शीर्ष (-1,0)
शीर्ष = -b/2a पर।
y=x²+2x+1 में a=1 b=2 शीर्ष x=-1 y=0।
बढ़ता घटता - हेडिंग
y=x² x<0 घटता, x>0 बढ़ता।y=-x² x<0 बढ़ता, x>0 घटता।
🟢 भाग 3/4 - घन और अन्य y=x³ y=1/x
y=x³ सिद्धांत - हेडिंग
y=x³ S आकार। (-1,-1) (0,0) (1,1) से गुजरता। बढ़ता ही रहता।y = x³
(-2,-8) (-1,-1) (0,0) (1,1) (2,8)
S आकार, हमेशा बढ़ता
y = -x³ उल्टा S हमेशा घटता
y=1/x और अचर - हेडिंग
y=1/x दो भाग में। x=0 पर नहीं बनता। x बढ़े y घटे।y=c अचर क्षैतिज रेखा। y=3 तो हमेशा 3।
y=x रेखा 45° बराबर ऊपर।
y=c क्षैतिज, y=x 45° ऊपर, y=1/x दो टुकड़ा, y=|x| V आकार
y=|x| = x यदि x≥0, -x यदि x<0 V आकार सबसे नीचे 0।🟣 भाग 4/4 - सभी ग्राफ Trick
सभी ग्राफ एक साथ - हेडिंग
y=mx+c सीधी - m>0 ऊपर m<0 नीचे
y=x² U - शीर्ष (0,0) a>0 ऊपर
y=-x² ∩ - शीर्ष सबसे ऊपर
y=x³ S - हमेशा बढ़ता
y=|x| V - सबसे नीचे 0
y=c क्षैतिज
ढाल m=(y2-y1)/(x2-x1) शीर्ष -b/2a
Function जाँच Trick - हेडिंग
Vertical Line Test: खड़ी रेखा ग्राफ को एक बार काटे तो Function। y²=x में खड़ी रेखा दो बार काटती इसलिए Not Function।Domain: x के मान जो डाल सकते हो। Range: y के मान जो निकलते हैं।
y=x² Domain सभी Range y≥0।
y=1/x Domain x≠0 Range y≠0।
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Ch5 - गो-गो - भाग 3/4 - अभ्यास 5.1 से 5.5
🔴 भाग 1/4 - 5.1 Function जाँच
5.1 Q1-Q8 - Function है या नहीं - हेडिंग
Q1. f(x)=2x+3 x=2 पर?f(2)=4+3=7
Q2. f(x)=x² x=3 पर?
f(3)=9
Q3. f(x)=x²+1 x=1,2?
f(1)=2 f(2)=5
Q4. y=2x Function?
हाँ हर x का एक y।
Q5. y²=x Function?
नहीं x=4 पर y=2,-2 दो Output।
Q6. x²+y²=4 Function?
नहीं वृत्त, एक x पर दो y।
Q7. डोमेन रेंज f(x)=2x x=1,2,3?
डोमेन 1,2,3 रेंज 2,4,6
Q8. f(x)=x+5 x=0 पर?
f(0)=5 y-अंतःखंड
5.1 खत्म 1 Input 1 Output = Function Vertical Line एक बार
🔵 भाग 2/4 - 5.2 रैखिक ग्राफ
5.2 Q1-Q8 - y=mx+c ग्राफ - हेडिंग
Q1. y=2x ग्राफ बनाओ बिंदु?(0,0) (1,2) (2,4) सीधी ऊपर m=2
Q2. y=x+3 ग्राफ?
(0,3) (1,4) m=1 c=3
Q3. y=-x ग्राफ?
(0,0) (1,-1) नीचे m=-1
Q4. y=3x-2 ढाल अंतःखंड?
m=3 c=-2 ऊपर तेज़
Q5. y=4 क्षैतिज ग्राफ?
हमेशा 4, m=0
Q6. दो बिंदु (0,1) (1,3) ढाल?
m=(3-1)/(1-0)=2
Q7. y=2x+1 बढ़ता घटता?
m=2>0 बढ़ता ऊपर
Q8. y=-2x+1 बढ़ता घटता?
m=-2<0 घटता नीचे
5.2 खत्म y=mx+c m ढाल c अंतःखंड m>0 ऊपर m<0 नीचे
🟢 भाग 3/4 - 5.3 द्विघात y=x²
5.3 Q1-Q8 - परवलय - हेडिंग
Q1. y=x² बिंदु?(-2,4)(-1,1)(0,0)(1,1)(2,4) U
Q2. y=-x²?
∩ उल्टा सबसे ऊपर 0
Q3. y=x²+1 ग्राफ?
y=x² 1 ऊपर खिसका शीर्ष (0,1)
Q4. y=(x-1)²?
1 दाएँ खिसका शीर्ष (1,0)
Q5. y=x²+2x+1 शीर्ष?
(x+1)² शीर्ष -b/2a=-1 y=0
Q6. y=x²-4x+4 शीर्ष?
(x-2)² शीर्ष (2,0)
Q7. y=x² बढ़ता घटता?
x<0 घटता x>0 बढ़ता
Q8. Domain Range y=x²?
Domain सभी Range y≥0
y=x² U शीर्ष (0,0) a>0 ऊपर a<0 नीचे
शीर्ष -b/2a Domain सभी Range y≥0
🟣 भाग 4/4 - 5.4 5.5 घन और अन्य
5.4 5.5 Q1-Q8 - हेडिंग
Q1. y=x³ बिंदु?(-1,-1)(0,0)(1,1)(2,8) S बढ़ता
Q2. y=-x³?
उल्टा S घटता
Q3. y=|x| ग्राफ?
V (-1,1)(0,0)(1,1) सबसे नीचे 0
Q4. y=1/x ग्राफ?
दो भाग x≠0, x बढ़े y घटे
Q5. y=2 Domain Range?
क्षैतिज Domain सभी Range 2
Q6. f(x)=3x+2 f(0) f(1) f(-1)?
f(0)=2 f(1)=5 f(-1)=-1
Q7. Vertical Line Test क्या?
खड़ी रेखा एक बार काटे Function दो बार Not
Q8. y²=4x Function?
नहीं दो y x=1 पर y=2,-2
5.4 5.5 खत्म
y=x³ S बढ़ता y=|x| V y=1/x दो भाग
Vertical Line एक बार Function
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Ch5 - 5.6 - ऊपर-नीचे मिश्रित - भाग अलग
🔴 भाग 1/4 - 5.6 Q1-Q4 - बढ़ता घटता
5.6 Q1-Q4 - हेडिंग
Q1. y=3x+2 बढ़ता घटता बताओ?हल: m=3>0 इसलिए x बढ़े y बढ़े ऊपर बढ़ता।
Q2. y=-2x+5 बढ़ता घटता?
m=-2<0 x बढ़े y घटे नीचे घटता।
Q3. y=x² -2 से 2 तक बढ़ता घटता?
x<0 तक घटता -2 से 0 नीचे, x>0 बढ़ता 0 से 2 ऊपर, 0 पर सबसे नीचे।
Q4. y=x³ -1 से 1 तक?
हमेशा बढ़ता -1 से 1 तक ऊपर जाता -1 से 1।
5.6 Q1-Q4 m>0 बढ़ता m<0 घटता y=x² पहले घटता फिर बढ़ता
🔵 भाग 2/4 - 5.6 Q5-Q8 - अधिकतम न्यूनतम
5.6 Q5-Q8 - हेडिंग
Q5. y=x²+4x+4 अधिकतम न्यूनतम?हल: (x+2)² शीर्ष (-2,0) न्यूनतम 0 अधिकतम नहीं U।
Q6. y=-x²+4 अधिकतम?
∩ उल्टा शीर्ष (0,4) अधिकतम 4 न्यूनतम नहीं।
Q7. y=2x²-8x+8 शीर्ष?
y=2(x-2)² शीर्ष (2,0) न्यूनतम 0। -b/2a=8/4=2।
Q8. y=x²-2x+1 शीर्ष?
(x-1)² शीर्ष (1,0) न्यूनतम 0।
5.6 Q5-Q8 U न्यूनतम ∩ अधिकतम शीर्ष -b/2a
🟢 भाग 3/4 - 5.6 Q9-Q12 - डोमेन रेंज ग्राफ
5.6 Q9-Q12 - हेडिंग
Q9. f(x)=√x डोमेन रेंज ग्राफ?डोमेन x≥0 रेंज y≥0 ग्राफ दाएँ ऊपर।
Q10. f(x)=1/x डोमेन रेंज?
डोमेन x≠0 रेंज y≠0 दो भाग ग्राफ।
Q11. f(x)=|x-2| ग्राफ?
V शीर्ष (2,0) दाएँ 0 बाएँ 0 से ऊपर। (-1,3)(0,2)(2,0)(4,2)
Q12. f(x)=x²+2x+5 Domain Range बढ़ता घटता?
Domain सभी, (x+1)²+4 शीर्ष (-1,4) Range y≥4, x<-1 घटता x>-1 बढ़ता।
Domain Input Range Output
√x x≥0 |x| V y≥0 1/x x≠0
🟣 भाग 4/4 - 5.6 Q13-Q16 - अंतिम तक
5.6 Q13-Q16 - बिलकुल अंतिम - हेडिंग
Q13. f(x)=2x+3 और g(x)=x² तो f(g(2))?g(2)=4 f(4)=11
Q14. f(x)=x² g(x)=x+1 तो g(f(2))?
f(2)=4 g(4)=5
Q15. ग्राफ से बताओ f(0)=? f(1)=? y=x+1 पर?
f(0)=1 f(1)=2 (0,1)(1,2)
Q16. अंतिम सिद्ध करो y=x² और y=-x² एक दूसरे का उल्टा।
y=x² U न्यूनतम 0, y=-x² ∩ अधिकतम 0, x अक्ष में प्रतिबिंब, एक ऊपर एक नीचे।
5.6 अंतिम तक खत्म
f(g(x)) पहले अंदर g फिर बाहर f
U न्यूनतम ∩ अधिकतम
m>0 बढ़ता m<0 घटता
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Ch5 - अंतिम प्रश्नावली - 16 Q
🔴 भाग 1/4 - Q1-Q4 - अंतिम
अंतिम Q1-Q4 - हेडिंग
Q1. f(x)=3x-5 f(0) f(1) f(2)?f(0)=-5 f(1)=-2 f(2)=1
Q2. y=2x+1 और y=-x+4 कहाँ मिलते?
2x+1=-x+4 =>3x=3 x=1 y=3 बिंदु (1,3)
Q3. y=x² और y=4x कहाँ मिलते?
x²=4x =>x²-4x=0 x(x-4)=0 x=0,4 बिंदु (0,0)(4,16)
Q4. y=x² का Domain Range बढ़ता घटता?
Domain सभी, Range y≥0, x<0 घटता x>0 बढ़ता U न्यूनतम 0।
Q1-Q4 f(x) मान, दो रेखा मिलना बराबर करो
🔵 भाग 2/4 - Q5-Q8 - अंतिम
अंतिम Q5-Q8 - हेडिंग
Q5. y=|x| Domain Range ग्राफ?Domain सभी Range y≥0 V शीर्ष (0,0) न्यूनतम 0।
Q6. f(x)=x²-2x+5 न्यूनतम?
(x-1)²+4 शीर्ष (1,4) न्यूनतम 4 -b/2a=1।
Q7. y=-x²+6x-9 अधिकतम?
-(x-3)² शीर्ष (3,0) अधिकतम 0 ∩।
Q8. Function जाँच: x=1 पर y=2 और 3?
Not Function एक Input दो Output।
Q5-Q8 |x| V y≥0, शीर्ष -b/2a न्यूनतम अधिकतम
🟢 भाग 3/4 - Q9-Q12 - अंतिम
अंतिम Q9-Q12 - हेडिंग
Q9. ढाल निकालो (0,2) (2,6)?m=(6-2)/(2-0)=4/2=2 ऊपर।
Q10. y=3x+2 और y=3x-2 समानांतर?
हाँ m दोनों 3 समानांतर कभी नहीं मिलते।
Q11. y=x³ बढ़ता घटता Domain Range?
Domain सभी Range सभी हमेशा बढ़ता S।
Q12. f(x)=2x+3 g(x)=x² f(g(1)) g(f(1))?
g1=1 f1=5, f(g1)=f1=5, f1=5 g5=25 g(f1)=25
Q9-Q12 m=(y2-y1)/(x2-x1) समानांतर m बराबर, f(g) अंदर से बाहर
🟣 भाग 4/4 - Q13-Q16 - बिलकुल अंतिम
अंतिम Q13-Q16 - बिलकुल अंतिम - हेडिंग
Q13. Vertical Line Test समझाओ?खड़ी रेखा ग्राफ को एक बार काटे Function दो बार Not, y²=x Not।
Q14. y=1/x बढ़ता घटता?
x>0 घटता x<0 घटता, x बढ़े y घटे दो भाग।
Q15. f(x)=x²+1/x² यदि x+1/x=2 तो?
(x+1/x)²=x²+1/x²+2 =>4=x²+1/x²+2 =>x²+1/x²=2
Q16. सिद्ध करो y=mx+c में m>0 बढ़ता m<0 घटता।
m>0 तो x2>x1 पर y2>y1 ऊपर, m<0 तो x2>x1 पर y2
Q13-Q16 बिलकुल अंतिम
Vertical एक बार Function
y=1/x x बढ़े y घटे
m>0 ऊपर m<0 नीचे m=0 क्षैतिज
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Ch5 - गो-गो - भाग 5/5 - MCQ अग्निवीर
🔴 भाग 1/4 - Q1-Q8 - Function
Function MCQ - हेडिंग
Q1. f(x)=2x+3 f(2)=?A) 5 B) 7 C) 6 D) 8
Ans B) 7
Q2. Function क्या?
A) 1 Input 2 Output B) 1 Input 1 Output C) 2 Input 1 Output नहीं D) कोई नहीं
Ans B) 1 Input 1 Output
Q3. y²=x Function?
A) हाँ B) नहीं C) कभी हाँ D) पता नहीं
Ans B) नहीं दो Output
Q4. Vertical Line Test?
A) एक बार Function B) दो बार Function C) तीन बार D) कोई नहीं
Ans A) एक बार Function
Q5. f(x)=x² f(3)=?
A) 6 B) 9 C) 3 D) 12
Ans B) 9
Q6. डोमेन क्या?
A) Output B) Input C) दोनों D) कोई नहीं
Ans B) Input
Q7. रेंज क्या?
A) Input B) Output C) दोनों D) कोई नहीं
Ans B) Output
Q8. गो-गो क्या?
A) Function B) मशीन C) दोनों D) कोई नहीं
Ans C) दोनों Function मशीन
1 Input 1 Output = Function Vertical एक बार
🔵 भाग 2/4 - Q9-Q16 - रैखिक
रैखिक MCQ - हेडिंग
Q9. y=mx+c m क्या?A) अंतःखंड B) ढाल C) ग्राफ D) कोई नहीं
Ans B) ढाल
Q10. y=2x+3 ढाल?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 1
Ans A) 2
Q11. m>0 तो?
A) बढ़ता ऊपर B) घटता नीचे C) क्षैतिज D) कोई नहीं
Ans A) बढ़ता ऊपर
Q12. m<0 तो?
A) बढ़ता B) घटता नीचे C) क्षैतिज D) कोई नहीं
Ans B) घटता नीचे
Q13. y=3 ग्राफ?
A) तिरछी B) क्षैतिज C) U D) V
Ans B) क्षैतिज
Q14. ढाल सूत्र?
A) (x2-x1)/(y2-y1) B) (y2-y1)/(x2-x1) C) x+y D) xy
Ans B) (y2-y1)/(x2-x1)
Q15. (0,1)(1,3) ढाल?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0
Ans B) 2
Q16. y=-x ग्राफ?
A) ऊपर B) नीचे C) क्षैतिज D) U
Ans B) नीचे घटता
y=mx+c m ढाल c अंतःखंड m>0 ऊपर m<0 नीचे
🟢 भाग 3/4 - Q17-Q24 - द्विघात घन
द्विघात घन MCQ - हेडिंग
Q17. y=x² ग्राफ?A) U B) ∩ C) S D) V
Ans A) U
Q18. y=-x² ग्राफ?
A) U B) ∩ C) S D) V
Ans B) ∩ उल्टा U
Q19. y=x³ ग्राफ?
A) U B) S C) V D) क्षैतिज
Ans B) S
Q20. y=|x| ग्राफ?
A) U B) V C) S D) ∩
Ans B) V
Q21. y=x² शीर्ष?
A) (0,0) B) (1,1) C) (2,4) D) (1,0)
Ans A) (0,0)
Q22. y=x² Range?
A) सभी B) y≥0 C) y≤0 D) x≥0
Ans B) y≥0
Q23. y=x²+2x+1 शीर्ष?
A) (-1,0) B) (1,0) C) (0,0) D) (0,1)
Ans A) (-1,0)
Q24. शीर्ष सूत्र?
A) b/2a B) -b/2a C) b/a D) a/b
Ans B) -b/2a
y=x² U y=-x² ∩ y=x³ S y=|x| V शीर्ष -b/2a
🟣 भाग 4/4 - Q25-Q32 - अंतिम
अंतिम MCQ - हेडिंग
Q25. y=1/x Domain?A) सभी B) x≠0 C) x≥0 D) y≠0
Ans B) x≠0
Q26. √x Domain?
A) x≠0 B) x≥0 C) सभी D) y≥0
Ans B) x≥0
Q27. f(g(2)) क्या? f=2x+3 g=x²?
A) 7 B) 11 C) 5 D) 8
Ans B) 11 g2=4 f4=11
Q28. y=2x+1 और y=-x+4 मिलना?
A) (0,0) B) (1,3) C) (2,5) D) (1,1)
Ans B) (1,3)
Q29. समानांतर रेखा m?
A) अलग B) बराबर C) 0 D) 1
Ans B) बराबर
Q30. y=x² न्यूनतम?
A) 1 B) 0 C) -1 D) कोई नहीं
Ans B) 0
Q31. y=-x² अधिकतम?
A) 0 B) 1 C) -1 D) कोई नहीं
Ans A) 0
Q32. y=x²-2x+1 न्यूनतम?
A) 1 B) 0 C) -1 D) 2
Ans B) 0 शीर्ष (1,0)
Trick अंतिम
y=x² न्यूनतम 0 y=-x² अधिकतम 0
1/x x≠0 √x x≥0
f(g) अंदर से बाहर समानांतर m बराबर
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