*4* | बीजीय सर्वसमिकाओं का अन्वेषण | Exploration of Algebraic Identities

🔴 भाग 1/4 - परिचय - सर्वसमिका क्या?

समीकरण में x के कुछ मानों के लिए बराबर होता है। सर्वसमिका में x के सभी मानों के लिए बराबर होता है।सर्वसमिका हमेशा सत्य होती है। समीकरण कभी कभी सत्य।गुणा को जल्दी करने के लिए सर्वसमिका बनाई गई। बड़ी संख्या का गुणा सूत्र से तेज़ होता है। जैसे 1001² = (1000+1)² = 1000000+2000+1=1002001। बिना गुणा के।

🔵 भाग 2/4 - वर्ग सर्वसमिका (a+b)² (a-b)²

(a+b)² = (a+b)(a+b) = a²+ab+ba+b² = a²+2ab+b²(a-b)² = a²-2ab+b²। बीच में ऋण होता है।चित्र से: बड़े वर्ग से दो आयत घटाओ एक छोटा जोड़ो।

🟢 भाग 3/4 - (a+b)(a-b) और (x+a)(x+b)

(a+b)(a-b)=a²-ab+ba-b²=a²-b²। बीच वाला कट जाता है।(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+abगुणनखंड के लिए उपयोगी।

🟣 भाग 4/4 - उपयोग और Trick

(a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³ = a³+b³+3ab(a+b)

🔴 भाग 1/4 - वर्ग सूत्र सिद्धांत

(a+b)² = (a+b)(a+b) = a(a+b)+b(a+b)=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²(a-b)² = (a-b)(a-b)=a²-ab-ab+b²=a²-2ab+b²ये दो सबसे ज्यादा पूछते हैं।

🔵 भाग 2/4 - गुणा सूत्र सिद्धांत

(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²(x+a)(x+b)=x²+ax+bx+ab=x²+(a+b)x+abगुणनखंड इसी पर आधारित।

🟢 भाग 3/4 - घन सूत्र सिद्धांत

(a+b)³=(a+b)(a+b)²=(a+b)(a²+2ab+b²)=a³+2a²b+ab²+a²b+2ab²+b³=a³+3a²b+3ab²+b³(a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³=a³-b³-3ab(a-b)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)

🟣 भाग 4/4 - सभी फॉर्मूले एक साथ Trick

वर्ग में 2ab, घन में 3ab। (a+b)² में + बीच में, (a-b)² में -। a³+b³ में -ab बीच, a³-b³ में +ab।
101²=(100+1)², 99²=(100-1)², 101×99=a²-b², 104×102=(x+a)(x+b)।

🔴 भाग 1/4 - 4.1 वर्ग - सभी प्रश्न

Q1. (x+4)² =?
हल: a²+2ab+b² = x²+8x+16

Q2. (2x+3)² =?
हल: (2x)²+2×2x×3+9=4x²+12x+9

Q3. (x-5)² =?
हल: a²-2ab+b² = x²-10x+25

Q4. (3x-2)² =?
हल: 9x²-12x+4

Q5. (2x+3y)² =?
हल: 4x²+12xy+9y²

Q6. (x-2y)² =?
हल: x²-4xy+4y²

Q7. 103² =? (100+3)²=10000+600+9=10609

Q8. 98² =? (100-2)²=10000-400+4=9604

Q9. 102² =? (100+2)²=10000+400+4=10404

Q10. 97² =? (100-3)²=10000-600+9=9409

🔵 भाग 2/4 - 4.2 a²-b² और (x+a)(x+b)

Q1. (x+5)(x-5)=? x²-25

Q2. (2x+3)(2x-3)=? 4x²-9

Q3. (x+2y)(x-2y)=? x²-4y²

Q4. (3x+4)(3x-4)=? 9x²-16

Q5. 103×97=? (100+3)(100-3)=10000-9=9991

Q6. 52×48=? (50+2)(50-2)=2500-4=2496

Q7. 105×95=? (100+5)(100-5)=10000-25=9975

Q8. (x+2)(x+3)=? x²+5x+6 (a+b)=5 ab=6

Q9. (x+4)(x+5)=? x²+9x+20

Q10. (x+3)(x-2)=? x²+x-6 3+(-2)=1 3×-2=-6

Q11. (x-4)(x+6)=? x²+2x-24

Q12. (x-3)(x-5)=? x²-8x+15

Q13. 103×104=? (100+3)(100+4)=10000+700+12=10712

🟢 भाग 3/4 - 4.3 घन (a+b)³ (a-b)³

Q1. (x+2)³=?
हल: x³+3x²×2+3x×4+8=x³+6x²+12x+8
सूत्र a³+b³+3ab(a+b)

Q2. (2x+3)³=?
8x³+27+3×2x×3(2x+3)=8x³+27+18x(2x+3)=8x³+36x²+54x+27

Q3. (x-2)³=?
x³-6x²+12x-8

Q4. (3x-2)³=?
27x³-54x²+36x-8

Q5. (x+2y)³=?
x³+8y³+6xy(x+2y)=x³+8y³+6x²y+12xy²

Q6. 101³=?
(100+1)³=1000000+1+300×101=1000000+1+30300=1030301

Q7. 99³=?
(100-1)³=1000000-1-300×99=1000000-1-29700=970299

Q8. 102³=?
(100+2)³=1000000+8+600×102=1000000+8+61200=1061208

🟣 भाग 4/4 - 4.4 और 4.5 - a³+b³ गुणनखंड

Q1. x³+8 =?
x³+2³=(x+2)(x²-2x+4)

Q2. 8x³+27 =?
(2x)³+3³=(2x+3)(4x²-6x+9)

Q3. x³-8 =?
(x-2)(x²+2x+4)

Q4. 27x³-8 =?
(3x-2)(9x²+6x+4)

Q5. x³+27y³ =?
(x+3y)(x²-3xy+9y²)

Q6. 64x³-1 =?
(4x-1)(16x²+4x+1)

Q7. (x+2)²+(x-2)²=?
2(x²+4)=2x²+8 Trick 2(a²+b²)

Q8. (x+2)²-(x-2)²=?
4×x×2=8x Trick 4ab

Q9. (x+1)³+(x-1)³=?
(a+b)³+(a-b)³=2a³+6ab²=2x³+6x

Q10. x²+1/x²=? यदि x+1/x=3
(x+1/x)²=x²+1/x²+2 =>9=x²+1/x²+2 =>x²+1/x²=7

Q11. x³+1/x³=? यदि x+1/x=3
(x+1/x)³=x³+1/x³+3(x+1/x) =>27=x³+1/x³+9 =>x³+1/x³=18

Q12. अंतिम सिद्ध करो (x+y)³-(x-y)³=2y³+6x²y
बाएँ = (x³+y³+3xy(x+y))-(x³-y³-3xy(x-y))=2y³+6x²y सिद्ध।

🔴 भाग 1/4 - Q1-Q4 - अंतिम

Q1. मान निकालो (2x+3)²+(2x-3)²।
हल: (a+b)²+(a-b)²=2(a²+b²)=2(4x²+9)=8x²+18

Q2. मान निकालो (5x+2)²-(5x-2)²।
हल: 4ab=4×5x×2=40x

Q3. 104² तेज़?
(100+4)²=10000+800+16=10816

Q4. 96² तेज़?
(100-4)²=10000-800+16=9216

🔵 भाग 2/4 - Q5-Q8 - अंतिम

Q5. 105×95 =?
(100+5)(100-5)=10000-25=9975

Q6. (x+6)(x+7)=?
x²+13x+42

Q7. (x+8)(x-3)=?
x²+5x-24

Q8. (2x+3y)(2x-3y)=?
4x²-9y²

🟢 भाग 3/4 - Q9-Q12 - अंतिम

Q9. (x+3)³=?
x³+27+9x(x+3)=x³+9x²+27x+27

Q10. (x-3)³=?
x³-27-9x(x-3)=x³-9x²+27x-27

Q11. 8x³+27y³=?
(2x)³+(3y)³=(2x+3y)(4x²-6xy+9y²)

Q12. 64x³-125=?
(4x)³-5³=(4x-5)(16x²+20x+25)

🟣 भाग 4/4 - Q13-Q16 - बिलकुल अंतिम

Q13. यदि x+y=12 xy=27 तो x²+y²=?
(x+y)²=x²+y²+2xy =>144=x²+y²+54 =>x²+y²=90

Q14. यदि x-y=6 xy=16 तो x²+y²=?
(x-y)²=x²+y²-2xy =>36=x²+y²-32 =>x²+y²=68

Q15. यदि x+1/x=5 तो x²+1/x²=? x³+1/x³=?
x²+1/x²=(x+1/x)²-2=25-2=23
x³+1/x³=(x+1/x)³-3(x+1/x)=125-15=110

Q16. सिद्ध करो (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca। और a²+b²+c²=? यदि a+b+c=9 ab+bc+ca=26
सिद्ध: (a+b+c)(a+b+c)=a²+ab+ac+ab+b²+bc+ac+bc+c²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
81=a²+b²+c²+52 =>a²+b²+c²=29 बिलकुल अंतिम।

🔴 भाग 1/4 - Q1-Q8 - वर्ग

Q1. (x+2)²=?
A) x²+4 B) x²+4x+4 C) x²+2x+4 D) x²+4x+2
Ans B) x²+4x+4

Q2. (x-3)²=?
A) x²-9 B) x²-6x+9 C) x²+6x+9 D) x²-6x-9
Ans B) x²-6x+9

Q3. (2x+1)²=?
A) 4x²+1 B) 4x²+4x+1 C) 2x²+4x+1 D) 4x²+2x+1
Ans B) 4x²+4x+1

Q4. 101²=?
A) 10001 B) 10201 C) 10101 D) 10000
Ans B) 10201 (100+1)²

Q5. 99²=?
A) 9801 B) 9900 C) 9800 D) 9999
Ans A) 9801 (100-1)²

Q6. (x+y)²-(x-y)²=?
A) 2xy B) 4xy C) x²+y² D) 2(x²+y²)
Ans B) 4xy

Q7. (x+y)²+(x-y)²=?
A) 4xy B) 2(x²+y²) C) x²+y² D) 2xy
Ans B) 2(x²+y²)

Q8. (a+b)²=?
A) a²-b² B) a²+2ab+b² C) a²-2ab+b² D) a²+b²
Ans B) a²+2ab+b²

🔵 भाग 2/4 - Q9-Q16 - गुणा

Q9. (x+5)(x-5)=?
A) x²+25 B) x²-25 C) x²-10x+25 D) x²+10x+25
Ans B) x²-25

Q10. 103×97=?
A) 9991 B) 9999 C) 10000 D) 9990
Ans A) 9991 a²-b²

Q11. (x+2)(x+3)=?
A) x²+6 B) x²+5x+6 C) x²+5x+5 D) x²+6x+5
Ans B) x²+5x+6

Q12. (x+4)(x-2)=?
A) x²+2x-8 B) x²-2x+8 C) x²+2x+8 D) x²-8
Ans A) x²+2x-8

Q13. a²-b²=?
A) (a+b)² B) (a-b)² C) (a+b)(a-b) D) (a+b)(a+b)
Ans C) (a+b)(a-b)

Q14. 52×48=?
A) 2496 B) 2500 C) 2490 D) 2504
Ans A) 2496

Q15. (x+a)(x+b)=?
A) x²+ab B) x²+(a+b)x+ab C) x²+(a-b)x+ab D) x²+ax+b
Ans B) x²+(a+b)x+ab

Q16. x²-16=?
A) (x+4)(x-4) B) (x+4)² C) (x-4)² D) (x+8)(x-2)
Ans A) (x+4)(x-4)

🟢 भाग 3/4 - Q17-Q24 - घन

Q17. (x+1)³=?
A) x³+1 B) x³+3x²+3x+1 C) x³+3x+1 D) x³+x+1
Ans B) x³+3x²+3x+1

Q18. (x-1)³=?
A) x³-1 B) x³-3x²+3x-1 C) x³+3x²-3x+1 D) x³-3x²-3x-1
Ans B) x³-3x²+3x-1

Q19. a³+b³=?
A) (a+b)(a²+ab+b²) B) (a+b)(a²-ab+b²) C) (a-b)(a²+ab+b²) D) (a+b)³
Ans B) (a+b)(a²-ab+b²)

Q20. a³-b³=?
A) (a-b)(a²-ab+b²) B) (a-b)(a²+ab+b²) C) (a+b)(a²+ab+b²) D) (a+b)(a²-ab+b²)
Ans B) (a-b)(a²+ab+b²)

Q21. x³+8=?
A) (x+2)(x²+2x+4) B) (x+2)(x²-2x+4) C) (x-2)(x²+2x+4) D) (x+2)³
Ans B) (x+2)(x²-2x+4)

Q22. (a+b)³=?
A) a³+b³ B) a³+b³+3ab(a+b) C) a³-b³ D) a³+b³+3ab(a-b)
Ans B) a³+b³+3ab(a+b)

Q23. 101³=?
A) 1030301 B) 1000001 C) 1010001 D) 1030001
Ans A) 1030301

Q24. x³-27=?
A) (x-3)(x²+3x+9) B) (x+3)(x²-3x+9) C) (x-3)³ D) (x+3)³
Ans A) (x-3)(x²+3x+9)

🟣 भाग 4/4 - Q25-Q32 - अंतिम Trick

Q25. यदि x+y=5 xy=6 तो x²+y²=?
A) 13 B) 25 C) 12 D) 37
Ans A) 13 25-12

Q26. यदि x+1/x=4 तो x²+1/x²=?
A) 14 B) 16 C) 12 D) 18
Ans A) 14 16-2

Q27. यदि x+1/x=3 तो x³+1/x³=?
A) 18 B) 27 C) 9 D) 24
Ans A) 18 27-9

Q28. (a+b+c)²=?
A) a²+b²+c² B) a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca C) a²+b²+c²+ab+bc+ca D) a²+b²+c²-2ab-2bc-2ca
Ans B) a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca

Q29. यदि a+b+c=9 ab+bc+ca=20 तो a²+b²+c²=?
A) 41 B) 61 C) 81 D) 40
Ans A) 41 81-40

Q30. (x+1/x)²=?
A) x²+1/x² B) x²+1/x²+2 C) x²+1/x²-2 D) x²-1/x²
Ans B) x²+1/x²+2

Q31. सर्वसमिका क्या?
A) कुछ मान पर सत्य B) सभी मान पर सत्य C) कभी सत्य नहीं D) एक मान पर
Ans B) सभी मान पर सत्य

Q32. समीकरण क्या?
A) सभी मान पर सत्य B) कुछ मान पर सत्य C) हमेशा सत्य D) कभी नहीं
Ans B) कुछ मान पर सत्य