Chapter 7 – गणित प्रकाश – भिन्न – Fractions

किताब: Recall when things shared equally, fractions tell share.

हिंदी: बराबर बाँटो तो भिन्न।
उदा: 1 रोटी 2 में = 1/2
नियम: बराबर जरूरी।

3/4 में: ऊपर 3 = अंश - कितने लिए
नीचे 4 = हर - कितने में बाँटा

याद: हर = बाँटा, अंश = लिया

किताब: Fractional Units
अंश 1 हो तो इकाई: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6
चिक्की 6 भाग = 1/6
बड़ा टुकड़ा = 3 बार 1/4 = 3/4

1. भिन्न = बराबर भाग
2. अंश = लिया, हर = बाँटा
3. इकाई = 1/2, 1/3, 1/4
4. थ्योरी मजबूत = Ex आसान

तस्वीर में पूरी चिक्की है।

पूरी चिक्की को 6 बराबर भाग में अलग अलग तरह से बाँटने पर हर टुकड़ा 1/6 चिक्की।
आकार अलग अलग पर वजन बराबर - क्या वे एक ही साइज के हैं?

यही भिन्न इकाई है - 1/6

चिक्की 2 टुकड़े में टूटी है।

बड़े टुकड़े में 1/4 चिक्की के 3 टुकड़े हैं।
इसलिए बड़े टुकड़े को हम 1/4 इकाई से नाप सकते हैं।

बड़ा टुकड़ा = 3/4 चिक्की
We can measure bigger piece using fractional unit 1/4.

किताब से: Comparing Fractions

जब दो भिन्न दी हों तो कौन बड़ी, कौन छोटी - यही तुलना है।

नियम 1: हर समान हो तो अंश बड़ा वाली भिन्न बड़ी।
उदा: 2/5 और 3/5 में 3/5 बड़ी।

नियम 2: अंश समान हो तो हर छोटा वाली भिन्न बड़ी।

क्यों? पूरी चीज को कम भाग में बाँटो तो हर भाग बड़ा।

उदा: 1/2 और 1/3 में
1/2 = 2 भाग में 1, 1/3 = 3 भाग में 1
इसलिए 1/2 > 1/3

हर समान हो तो आसान:
1/4 + 2/4 = 3/4
3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2

हर अलग हो तो पहले बराबर बनाओ:
1/2 = 2/4, इसलिए 1/4 + 1/2 = 1/4 + 2/4 = 3/4

1. हर समान = अंश बड़ा बड़ी
2. अंश समान = हर छोटा बड़ी
3. हर अलग = पहले बराबर बनाओ
4. 1/2 = 2/4 = 3/6 सब बराबर

थ्योरी पक्की तो Ex 7.3 आसान

0 और 1 के बीच की दूरी को बराबर भाग में बाँटो।

1/2 दिखाना है तो 2 भाग में बाँटो, पहला निशान 1/2
1/4 दिखाना है तो 4 भाग में बाँटो, पहला निशान 1/4

उचित भिन्न: अंश छोटा हर से, 1 से छोटी
उदा: 1/2, 3/4, 2/5

विषम भिन्न: अंश बडा हर से, 1 से बडी
उदा: 5/4, 3/2, 7/3

मिश्रित: पूरा + भिन्न, जैसे 1 1/2
मतलब 1 पूरी + आधी रोटी

बनाना: 1 1/2 = 3/2
तोडना: 5/4 = 1 1/4

1. संख्या रेखा पर 0 से 1 को बाँटो
2. उचित < 1, विषम > 1
3. मिश्रित = पूरा + भिन्न
4. 1 1/2 = 3/2

नियम: हर समान हो तो अंश को जोड दो, हर वही रहेगा।

उदा: 2/7 + 3/7 = 5/7
2 भाग + 3 भाग = 5 भाग, हर 7 वही।

याद: हर नहीं जोडना, सिर्फ अंश जोडना।

नियम: हर समान हो तो अंश को घटा दो।

उदा: 5/8 - 2/8 = 3/8
5 भाग में से 2 भाग निकाले = 3 भाग बचे।

उदा किताब से: 3/4 - 1/4 = 2/4 = 1/2

पहले हर बराबर बनाओ:

1/2 + 1/4 = ?
1/2 = 2/4 बनाओ
अब 2/4 + 1/4 = 3/4

किताब से: 1/4 इकाई से नापो तो 1/2 = 2 इकाई।

1. हर समान = अंश जोडो / घटाओ
2. हर अलग = पहले बराबर बनाओ
3. 1/2 = 2/4 = 4/8 सब बराबर
4. उत्तर को सरल जरूर करो

अब Ex 7.5 एकदम आसान

✅ भिन्न इकाई: जब एक पूरी मूल इकाई को बराबर भागों में बाँटा तो प्रत्येक भाग भिन्न इकाई कहलाता - ये सभी भिन्न इकाइयाँ 1 बटा 2, 1 बटा 3, 1 बटा 4, 1 बटा 5, 1 बटा 6, ... 1 बटा 10, ... 1 बटा 50, ... 1 बटा 100 आदि - इन्हें इकाई भिन्न भी कहते - बराबर हिस्से के रूप में भिन्न जब पूरी संख्या इकाइयों को बराबर भागों में बाँट कर बराबर बाँटा तो भिन्न बनती - भिन्न को पढ़ना जैसे 5 बटा 6 में 5 को अंश और 6 को हर कहते - मिश्रित भिन्न में पूरी संख्या भाग और भिन्न भाग होता - संख्या रेखा पर भिन्न दिखा सकते हैं हर भिन्न का संख्या रेखा पर एक बिंदु होता - तीन अमरूद मिल कर 1 किलो वजन लगभग एक ही आकार तो प्रत्येक अमरूद लगभग 1 बटा 3 किलो - थोक व्यापारी ने 1 किलो चावल चार बराबर वजन पैकेटों में पैकेट का वजन 1 बटा 4 किलो - चार दोस्तों ने 3 गिलास गन्ना रस बराबर बाँटा प्रत्येक ने 3 बटा 4 गिलास पिया

✅ कौन सी बड़ी: 1 बटा 5 या 1 बटा 9 कौन सी बड़ी? 9 बड़ा 5 से इसलिए 1 बटा 9 बड़ी होगी? नहीं! यह सामान्य गलती - सोचो हिस्से के रूप में - यदि एक रोटी 5 बच्चों में बाँटी प्रत्येक को 1 बटा 5 रोटी - यदि एक रोटी 9 बच्चों में बाँटी प्रत्येक को 1 बटा 9 रोटी - अधिक लोगों में बाँटो तो कम मिलेगा - इसलिए 1 बटा 9 छोटा 1 बटा 5 से - अर्थात 1 बटा 100 बड़ा 1 बटा 200 से - जब 2 बच्चे 1 रोटी बराबर बाँटते प्रत्येक को 1 बटा 2 रोटी जब 4 बच्चे 1 रोटी बराबर बाँटते प्रत्येक को 1 बटा 4 रोटी दूसरे समूह में अधिक बच्चे इसलिए प्रत्येक को छोटा हिस्सा इसलिए 1 बटा 2 रोटी अधिक 1 बटा 4 रोटी से - बड़ी मछली 1 बटा 2 किलो छोटी 1 बटा 4 किलो मिल कर 3 बटा 4 किलो 1 बटा 2 जमा 1 बटा 4 = 2 बटा 4 जमा 1 बटा 4 = 3 बटा 4

✅ क्रम में लगाओ: डेढ़, पौन, सवा, आधा, चौथाई, ढाई को छोटे से बड़े क्रम में - चौथाई, आधा, पौन, सवा, डेढ़, ढाई - छोटी चिक्की के टुकड़े कितनी भिन्न इकाई - 12 टुकड़े तो 1 बटा 12, 4 टुकड़े तो 1 बटा 4, 8 टुकड़े तो 1 बटा 8, 6 टुकड़े तो 1 बटा 6

✅ मापन: भिन्न इकाइयों का उपयोग कर मापन - पूरी की भिन्न इकाइयों के भागों के रूप में - चित्र में दिखाए विभिन्न भिन्न इकाइयों की पूरी चिक्की कितनी भिन्न इकाई - मिश्रित भिन्न में पूरी संख्या भाग और भिन्न भाग - भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में लिखना और मिश्रित भिन्न को भिन्न के रूप में लिखना - 3 रोटियाँ 4 बच्चों में बराबर बाँटी प्रत्येक को कितनी रोटी? कुल रोटियाँ बटा बच्चों की संख्या 3 बटा 4 - भाग तथ्य जोड़ तथ्य गुणा तथ्य - 2 रोटियाँ 4 बच्चों में बाँटी प्रत्येक को 2 बटा 4 = 1 बटा 2 - अनिल के समूह में 2 केक 5 बच्चों में बराबर बाँटे अनिल को 2 बटा 5 केक - समतुल्य भिन्न जब दो या अधिक भिन्न एक ही हिस्सा या संख्या दर्शाएँ समतुल्य भिन्न कहलातीं - न्यूनतम पद वह भिन्न जिसका अंश और हर में 1 के अलावा कोई समान गुणनखंड न हो सरलतम रूप - चित्र में छायांकित भागों की भिन्न 3 बटा 8, 6 बटा 8, 4 बटा 8, 1 बटा 8 समान हर वाली भिन्नें सजातीय भिन्नें समान हर में बड़ा अंश बड़ी भिन्न आरोही 1 बटा 8 छोटा 3 बटा 8 छोटा 4 बटा 8 छोटा 6 बटा 8

✅ संख्या रेखा: भिन्नों को संख्या रेखा पर दिखा सकते - हर भिन्न का संख्या रेखा पर एक बिंदु - भिन्न 2 बटा 6, 4 बटा 6, 8 बटा 6 और 6 बटा 6 को संख्या रेखा पर दिखाओ - भिन्नों की तुलना उचित चिन्ह छोटा बड़ा बराबर - 3 बटा 6 छोटा 5 बटा 6, 1 बटा 7 छोटा 1 बटा 4, 4 बटा 5 छोटा 5 बटा 5, 3 बटा 5 बड़ा 3 बटा 7 - समान हर में बड़ा अंश बड़ी भिन्न - असमान भिन्नों की तुलना समतुल्य भिन्न बना कर जिसका हर दोनों हरों का लघुत्तम समापवर्त्य हो - 1 बटा 7, 1 बटा 4 लघुत्तम 28 1 बटा 7 = 4 बटा 28 1 बटा 4 = 7 बटा 28 1 बटा 7 छोटा 1 बटा 4 - 3 बटा 5, 3 बटा 7 लघुत्तम 35 3 बटा 5 = 21 बटा 35 3 बटा 7 = 15 बटा 35 21 बड़ा 15 इसलिए 3 बटा 5 बड़ा 3 बटा 7

✅ मिश्रित: मिश्रित भिन्न में पूरी संख्या भाग और भिन्न भाग - भिन्न को मिश्रित भिन्न में लिखना - मिश्रित को भिन्न में लिखना - ऋग्वेद में भिन्नों का उल्लेख भिन्न 3 बटा 4 को त्रि-पाद कहा - भिन्न लिखने का आज का तरीका दुनिया भर में भारत से उत्पन्न - प्राचीन भारतीय गणित ग्रंथों जैसे बख्शाली पांडुलिपि लगभग 300 ईस्वी में जब 1 बटा 2 लिखना चाहते तो 2 को 1 के नीचे बिना रेखा के लिखते थे - शून्य को संख्या के रूप में धनात्मक ऋणात्मक संख्याओं के बराबर ब्रह्मगुप्त ने पहले वर्णित - मिस्रवासी मुख्यतः इकाई भिन्नों के साथ काम करते थे मेसोपोटामियावासी नहीं उनके पास स्थानीय मान 60 आधार सहित शून्य का विस्तृत ज्ञान था

✅ ब्रह्मगुप्त विधि जोड़: विभिन्न भिन्न इकाइयों वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए पहले समतुल्य भिन्नों में बदलो जिनका हर समान हो - सामान्य हर हरों के गुणनफल 3×4=12 या हरों के सबसे छोटे समान गुणज लघुत्तम समापवर्त्य से - इस मामले में सामान्य हर 3×4=12 अर्थात समतुल्य भिन्नें जिनकी भिन्न इकाई 1 बटा 12 - प्रत्येक दी गई भिन्न के लिए समतुल्य भिन्न लिखो 1 बटा 4 = 1×3 बटा 4×3 = 3 बटा 12, 1 बटा 3 = 1×4 बटा 3×4 = 4 बटा 12 - अब 3 बटा 12 और 4 बटा 12 की भिन्न इकाई समान 1 बटा 12 इसलिए 1 बटा 4 जमा 1 बटा 3 = 3 बटा 12 जमा 4 बटा 12 = 7 बटा 12 - यह जोड़ विधि जो किसी भी संख्या की भिन्नों को जोड़ने के लिए काम करती है पहली बार ब्रह्मगुप्त ने 628 ईस्वी में स्पष्ट रूप से सामान्य रूप में वर्णित - हम बाद में भिन्नों के विकास का इतिहास विस्तार से बताएँगे - अब ब्रह्मगुप्त विधि के चरणों का सार

✅ चरण: 1. समतुल्य भिन्नें खोजो ताकि भिन्न इकाई सभी भिन्नों के लिए समान हो यह हरों का समान गुणज खोज कर किया जा सकता है जैसे हरों का गुणनफल या हरों का सबसे छोटा समान गुणज - 2. समान भिन्न इकाइयों वाली इन समतुल्य भिन्नों को जोड़ो यह अंशों को जोड़ कर और समान हर रख कर किया जा सकता है - 3. यदि जरूरत हो तो परिणाम को न्यूनतम पदों में लिखो - दूसरा उदाहरण 2 बटा 3 और 1 बटा 5 का योग - हर 3 और 5 का लघुत्तम 15 - 2 बटा 3 = 2×5 बटा 3×5 = 10 बटा 15, 1 बटा 5 = 1×3 बटा 5×3 = 3 बटा 15 - योग 13 बटा 15 - भिन्नों को जोड़ने के लिए ब्रह्मगुप्त विधि भिन्न इकाइयों की संख्या जोड़ कर योग प्राप्त करो यह अंशों को जोड़ कर और समान हर रख कर

✅ और उदाहरण: 2 बटा 7 जमा 5 बटा 7 जमा 6 बटा 7 ब्रह्मगुप्त विधि में पहले हर समान करो फिर अंश जोड़ो - 3 बटा 4 जमा 1 बटा 3 दोनों हरों का गुणा 4×3=12 3 बटा 4 = 9 बटा 12 1 बटा 3 = 4 बटा 12 योग 13 बटा 12 - 2 बटा 3 जमा 5 बटा 6 लघुत्तम 6 समतुल्य हर 6 - 2 बटा 3 जमा 2 बटा 7 लघुत्तम 21 समतुल्य हर 21 2 बटा 3 =14 बटा 21 2 बटा 7=6 बटा 21 योग 20 बटा 21 - 2 बटा 3 और 2 बटा 7 जोड़ने के लिए लघुत्तम 21 फिर प्रत्येक भिन्न को हर 21 के साथ लिखो 2 बटा 3 =14 बटा 21 क्योंकि 2×7=14 2 बटा 7=6 बटा 21 क्योंकि 2×3=6 अब समान हर होने पर जोड़ो 14 बटा 21 जमा 6 बटा 21 =20 बटा 21

✅ घटाव: घटाने के लिए ब्रह्मगुप्त विधि भिन्नों को घटाते समय समतुल्य भिन्नों में बदलो जिनकी भिन्न इकाई समान हो अर्थात समान हर फिर भिन्न इकाइयों की संख्या घटाओ यह अंशों को घटा कर और समान हर रख कर - जैसे 3 बटा 4 घटा 1 बटा 3 = 9 बटा 12 घटा 4 बटा 12 =5 बटा 12 - सामान्य हर बनाने के लिए हरों का लघुत्तम समापवर्त्य सबसे छोटा समान गुणज उपयोग करो तो न्यूनतम पद में जल्दी पहुँचते - हरों का गुणनफल भी काम करता पर बड़ा हो सकता - घटाने में भी पहले हर समान फिर अंश घटाव समान हर - परिणाम न्यूनतम पद में - यदि मिश्रित भिन्न हो तो पहले अनुचित भिन्न में बदलो फिर घटाव - 4 मित्रों ने 3 गिलास रस बराबर बाँटा 3 बटा 4 - बड़ी मछली 1 बटा 2 छोटी 1 बटा 4 मिल कर 3 बटा 4

✅ गुणा: सामान्य भिन्नों को गुणा करने के लिए ब्रह्मगुप्त ने लिखा दो या अधिक भिन्नों का गुणन अंशों के गुणनफल को हरों के गुणनफल से भाग दे कर प्राप्त होता है ब्रह्मस्फुटसिद्धांत श्लोक 12.1.3 अर्थात क बटा ख गुणा ग बटा घ = क×ग बटा ख×घ - गुणा की ज्यामितीय व्याख्या भास्कर प्रथम ने 629 ईस्वी में आर्यभटीय भाष्य में वर्णित वर्ग को आयतों में बाँट कर लंबाई और चौड़ाई पर बराबर भागों से - वर्ग को बाँट कर आयतों में - भारतीय भिन्न सिद्धांत बहुत से भारतीय गणितज्ञों श्रीधराचार्य लगभग 750 ईस्वी महावीराचार्य लगभग 850 ईस्वी चतुर्वेद पृथूदकस्वामी लगभग 860 ईस्वी और भास्कर द्वितीय लगभग 1150 ईस्वी ने भिन्नों के अंकगणित के उपयोग को बहुत आगे विकसित किया - भास्कर प्रथम की दृश्य व्याख्या 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 4 =1 बटा 20

✅ भाग: सामान्य भिन्नों के भाग के लिए ब्रह्मगुप्त ने लिखा भिन्नों का भाग भाजक के अंश और हर को आपस में बदल कर किया जाता है लाभांश के अंश को नए अंश से और हर को नए हर से गुणा किया जाता है - भास्कर द्वितीय ने अपनी पुस्तक लीलावती में 1150 ईस्वी में ब्रह्मगुप्त के कथन को व्युत्क्रम की अवधारणा के रूप में और स्पष्ट किया एक भिन्न को दूसरी भिन्न से भाग देना पहली भिन्न को दूसरी के व्युत्क्रम से गुणा करने के बराबर है लीलावती श्लोक 2.3.40 दोनों श्लोक सूत्र के बराबर क बटा ख भाग ग बटा घ = क बटा ख गुणा घ बटा ग = क×घ बटा ख×ग - भारतीय भिन्न सिद्धांत और उन पर अंकगणितीय संक्रियाएँ अरब और अफ्रीकी गणितज्ञों जैसे अल-हस्सार लगभग 1192 ईस्वी मोरक्को तक पहुँची फिर अरबों के माध्यम से यूरोप में अगले कुछ सदियों में और यूरोप में सामान्य उपयोग में केवल 17वीं शताब्दी के आसपास आई जिसके बाद यह दुनिया भर में फैल गई सिद्धांत आज आधुनिक गणित में अपरिहार्य

✅ अग्निवीर में क्यों जरूरी: बराबर हिस्से के रूप में भिन्न पूरी संख्या इकाइयों को बराबर भागों में बाँट कर बराबर बाँटा तो भिन्न - भिन्न इकाइयाँ एक पूरी मूल इकाई को बराबर भागों में बाँटा प्रत्येक भाग भिन्न इकाई इकाई भिन्न - भिन्न पढ़ना 5 बटा 6 में 5 अंश 6 हर - मिश्रित पूरी संख्या और भिन्न भाग - संख्या रेखा पर भिन्न हर भिन्न का बिंदु - समतुल्य एक ही हिस्सा संख्या - न्यूनतम पद अंश हर में 1 के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं सरलतम रूप - ब्रह्मगुप्त विधि जोड़ घटाव समतुल्य समान भिन्न इकाई समान हर अंश जोड़ घटाव समान हर - गुणा अंश×अंश हर×हर भाग भाजक उलट कर गुणा व्युत्क्रम - भिन्न लिखने का आज का तरीका दुनिया भर में भारत से उत्पन्न बख्शाली पांडुलिपि लगभग 300 ईस्वी में 1 बटा 2 लिखने के लिए 2 को 1 के नीचे बिना रेखा के - ऋग्वेद में भिन्न 3 बटा 4 को त्रि-पाद - ब्रह्मगुप्त 628 ईस्वी में सामान्य नियम पहले औपचारिक और आधुनिक रूप में संहिताबद्ध - शून्य को संख्या के रूप में धनात्मक ऋणात्मक के बराबर ब्रह्मगुप्त ने पहले वर्णित स्पष्ट नियम - कौटिल्य ने अर्थशास्त्र लगभग 300 ईसा पूर्व में उधार जमा पर विस्तार से लिखा खाता शेष ऋणात्मक हो सकता पहचान - ब्रह्मगुप्त विधि जोड़ विभिन्न भिन्न इकाइयों वाली भिन्नों को जोड़ने के लिए पहले समतुल्य भिन्नों में बदलो जिनका हर समान हो सामान्य हर हरों के गुणनफल 3×4=12 या लघुत्तम समापवर्त्य से - प्रत्येक के लिए समतुल्य लिखो 1 बटा 4 =3 बटा 12 1 बटा 3=4 बटा 12 अब भिन्न इकाई समान 1 बटा 12 इसलिए 1 बटा 4 जमा 1 बटा 3 =7 बटा 12 - यह जोड़ विधि किसी भी संख्या की भिन्नों के लिए 628 ईस्वी में ब्रह्मगुप्त ने पहली बार स्पष्ट सामान्य रूप में वर्णित - चरण 1 समतुल्य भिन्नें खोजो ताकि भिन्न इकाई समान हो हरों का समान गुणज गुणनफल या लघुत्तम से 2 समान भिन्न इकाइयों वाली समतुल्य भिन्नों को जोड़ो अंश जोड़ समान हर रख 3 यदि जरूरत हो न्यूनतम पद में लिखो - दूसरा उदाहरण 2 बटा 3 और 1 बटा 5 योग हर 3 5 लघुत्तम 15 2 बटा 3=10 बटा 15 1 बटा 5=3 बटा 15 योग 13 बटा 15 - घटाव भी हर समान कर अंश घटाव - गुणा दो या अधिक भिन्नों का गुणन अंशों के गुणनफल को हरों के गुणनफल से भाग ब्रह्मस्फुटसिद्धांत 12.1.3 क बटा ख गुणा ग बटा घ =क×ग बटा ख×घ - भाग भाजक अंश हर आपस में बदल लाभांश अंश नए अंश से हर नए हर से गुणा भास्कर द्वितीय लीलावती 1150 में व्युत्क्रम की अवधारणा एक भिन्न को दूसरी से भाग देना पहली को दूसरी के व्युत्क्रम से गुणा लीलावती 2.3.40 क बटा ख भाग ग बटा घ =क बटा ख गुणा घ बटा ग =क×घ बटा ख×ग - भास्कर प्रथम 629 ईस्वी आर्यभटीय भाष्य में वर्ग को आयतों में बाँट कर ज्यामितीय व्याख्या - श्रीधराचार्य 750 महावीराचार्य 850 पृथूदकस्वामी 860 भास्कर द्वितीय 1150 ने बहुत आगे विकसित किया 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 4=1 बटा 20 - भारतीय सिद्धांत अरब अफ्रीकी गणितज्ञ अल-हस्सार 1192 मोरक्को तक फिर अरबों से यूरोप अगली सदियों में 17वीं शताब्दी सामान्य उपयोग फिर दुनिया भर फैल गया आज आधुनिक गणित में अपरिहार्य - अग्निवीर में भिन्न से 3-4 सवाल हर साल - रोटी केक चावल गन्ना रस अमरूद मछली उदाहरण - बराबर हिस्सा भिन्न इकाई - न्यूनतम पद - ब्रह्मगुप्त विधि - गुणा भाग व्युत्क्रम

प्रश्न 1. भिन्न क्या? बराबर हिस्से जब पूरी संख्या इकाइयों को बराबर भागों में बाँट कर बराबर बाँटा तो भिन्न - भिन्न इकाई एक पूरी मूल इकाई को बराबर भागों में बाँटा प्रत्येक भाग भिन्न इकाई इकाई भिन्न 1 बटा 2 1 बटा 3 1 बटा 4 - भिन्न पढ़ना 5 बटा 6 में 5 अंश 6 हर - मिश्रित पूरी संख्या और भिन्न भाग - संख्या रेखा पर भिन्न हर का बिंदु - समतुल्य एक ही हिस्सा संख्या - न्यूनतम पद अंश हर में 1 के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं सरलतम - 3 अमरूद 1 किलो प्रत्येक 1 बटा 3 किलो - 1 किलो चावल 4 पैकेट प्रत्येक 1 बटा 4 किलो - 3 गिलास रस 4 दोस्त प्रत्येक 3 बटा 4 गिलास - बड़ी मछली 1 बटा 2 छोटी 1 बटा 4 मिल कर 3 बटा 4

प्रश्न 2. तुलना कैसे? 1 बटा 5 या 1 बटा 9 कौन बड़ी? 9 बड़ा 5 से इसलिए 1 बटा 9 बड़ी? नहीं सामान्य गलती - हिस्सा सोचो एक रोटी 5 बच्चों में प्रत्येक 1 बटा 5 एक रोटी 9 बच्चों में प्रत्येक 1 बटा 9 अधिक लोगों में बाँटो कम मिलेगा इसलिए 1 बटा 9 छोटा 1 बटा 5 से 1 बटा 100 बड़ा 1 बटा 200 से - 2 बच्चे 1 रोटी प्रत्येक 1 बटा 2 4 बच्चे 1 रोटी प्रत्येक 1 बटा 4 इसलिए 1 बटा 2 अधिक 1 बटा 4 से - समान हर में बड़ा अंश बड़ी भिन्न 1 बटा 8 छोटा 3 बटा 8 छोटा 4 बटा 8 छोटा 6 बटा 8 - असमान हर लघुत्तम समापवर्त्य से समतुल्य बना कर तुलना 1 बटा 7 1 बटा 4 लघुत्तम 28 4 बटा 28 और 7 बटा 28 1 बटा 7 छोटा 1 बटा 4 - 3 बटा 5 3 बटा 7 लघुत्तम 35 21 बटा 35 और 15 बटा 35 3 बटा 5 बड़ा 3 बटा 7 - डेढ़ पौन सवा आधा चौथाई ढाई क्रम चौथाई आधा पौन सवा डेढ़ ढाई

प्रश्न 3. ब्रह्मगुप्त विधि? विभिन्न भिन्न इकाइयों वाली भिन्नों को जोड़ने घटाने के लिए पहले समतुल्य भिन्नों में बदलो जिनका हर समान हो सामान्य हर हरों के गुणनफल 3×4=12 या लघुत्तम से - प्रत्येक के लिए समतुल्य लिखो 1 बटा 4=3 बटा 12 1 बटा 3=4 बटा 12 भिन्न इकाई समान 1 बटा 12 इसलिए 1 बटा 4 जमा 1 बटा 3 =7 बटा 12 - यह विधि किसी भी संख्या की भिन्नों के लिए 628 ईस्वी में ब्रह्मगुप्त ने पहली बार स्पष्ट सामान्य रूप में वर्णित - चरण 1 समतुल्य खोजो ताकि भिन्न इकाई समान हो हरों का समान गुणज गुणनफल या लघुत्तम से 2 समान भिन्न इकाइयों वाली समतुल्य भिन्नों को जोड़ो अंश जोड़ समान हर रख 3 यदि जरूरत न्यूनतम पद में - दूसरा 2 बटा 3 और 1 बटा 5 लघुत्तम 15 10 बटा 15 और 3 बटा 15 योग 13 बटा 15 - 2 बटा 7 जमा 5 बटा 7 जमा 6 बटा 7 हर समान अंश जोड़ो - 3 बटा 4 जमा 1 बटा 3 हर 12 9 बटा 12 और 4 बटा 12 योग 13 बटा 12 - घटाव हर समान कर अंश घटाव - गुणा अंश×अंश हर×हर क×ग बटा ख×घ ब्रह्मस्फुटसिद्धांत 12.1.3 - भाग भाजक उलट कर गुणा व्युत्क्रम क×घ बटा ख×ग भास्कर द्वितीय लीलावती 1150 2.3.40 - भास्कर प्रथम 629 आर्यभटीय भाष्य वर्ग आयतों में ज्यामितीय व्याख्या 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 4=1 बटा 20 - श्रीधराचार्य 750 महावीराचार्य 850 पृथूदकस्वामी 860 भास्कर द्वितीय 1150 आगे विकसित - अल-हस्सार 1192 मोरक्को अरब अफ्रीकी फिर अरबों से यूरोप 17वीं शताब्दी सामान्य फिर दुनिया भर आज अपरिहार्य - ऋग्वेद 3 बटा 4 त्रि-पाद बख्शाली पांडुलिपि 300 ईस्वी 1 बटा 2 लिखने 2 को 1 के नीचे बिना रेखा - ब्रह्मगुप्त शून्य संख्या धनात्मक ऋणात्मक बराबर पहले वर्णित स्पष्ट नियम - कौटिल्य अर्थशास्त्र 300 ईसा पूर्व उधार जमा खाता शेष ऋणात्मक पहचान

✅ उत्तर: क) एक पूरी मूल इकाई को बराबर भागों में बाँटा प्रत्येक भाग भिन्न इकाई - अंश हर - मिश्रित - संख्या रेखा बिंदु - 1 बटा 3 1 बटा 4 3 बटा 4

✅ उत्तर: क) अधिक लोगों में बाँटो कम हिस्सा - 1 बटा 5 बड़ा 1 बटा 9 से - 1 बटा 2 बड़ा 1 बटा 4 से - क्रम चौथाई आधा पौन सवा डेढ़ ढाई

✅ उत्तर: क) कुल बटा बच्चों 3 बटा 4 - 2 बटा 4=1 बटा 2 - 2 बटा 5 - 3 बटा 4 - 1 बटा 3 1 बटा 4 - भाग जोड़ गुणा तथ्य

✅ उत्तर: क) समतुल्य एक ही हिस्सा - न्यूनतम पद 1 के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं - समान हर बड़ा अंश बड़ा - असमान हर लघुत्तम से समतुल्य बना कर तुलना

✅ उत्तर: क) पहले हर समान करो गुणनफल या लघुत्तम 12 से - समतुल्य 3 बटा 12 4 बटा 12 - फिर अंश जोड़ो 7 बटा 12 - 628 ईस्वी ब्रह्मगुप्त - अग्निवीर बिंदु!

✅ उत्तर: क) 1 हर समान करो समान गुणज लघुत्तम से 2 अंश जोड़ो समान हर रखो 3 न्यूनतम पद - 2 बटा 3 1 बटा 5 लघुत्तम 15 योग 13 बटा 15

✅ उत्तर: क) हर समान कर अंश घटाओ समान हर रखो - 3 बटा 4 घटा 1 बटा 3=5 बटा 12 - लघुत्तम से जल्दी न्यूनतम - मिश्रित हो तो अनुचित में बदलो

✅ उत्तर: क) अंश×अंश हर×हर क×ग बटा ख×घ - ब्रह्मस्फुटसिद्धांत 12.1.3 - भास्कर प्रथम 629 वर्ग आयतों में - 1 बटा 5 गुणा 1 बटा 4=1 बटा 20

✅ उत्तर: क) भाजक उलट कर गुणा व्युत्क्रम क×घ बटा ख×ग - लीलावती 2.3.40 - ऋग्वेद त्रि-पाद बख्शाली 300 ईस्वी - ब्रह्मगुप्त शून्य धनात्मक ऋणात्मक - अल-हस्सार 1192 यूरोप 17वीं

✅ उत्तर: क) बराबर हिस्सा भिन्न इकाई अंश हर मिश्रित संख्या रेखा समतुल्य न्यूनतम पद - ब्रह्मगुप्त जोड़ घटाव हर समान अंश जोड़ घटाव गुणा अंश×अंश हर×हर भाग व्युत्क्रम - इतिहास भारत से बख्शाली त्रि-पाद शून्य - 3-4 सवाल हर साल - उत्तराखंड शुद्ध हिंदी!