स्लाइड 1: अध्याय की प्रस्तावना:
पिछلی कक्षाओं में हमने डेटा के 'केंद्र' को समझने के लिए साधारण औसत (Average) का अध्ययन किया था। इस अध्याय में हम औसत की इस अवधारणा को एक अधिक व्यापक रूप में सीखेंगे, जिसे 'भारित औसत' (Weighted Average) कहा जाता है।
स्लाइड 2: औसत का सामान्यीकरण:
जब हम अलग-अलग समूहों, अलग-अलग माप वाले डेटा या विभिन्न महत्व (Weightage) वाली मात्राओं को आपस में मिलाते हैं, तब साधारण औसत सही परिणाम नहीं देता।
स्लाइड 3: मिश्रण और सांद्रता:
दैनिक जीवन में जब हम अलग-अलग मात्रा और अलग-अलग सांद्रता (जैसे नमक, चीनी या जग्गरी का प्रतिशत) वाले घोलों को मिलाते हैं, तो अंतिम मिश्रण की सांद्रता को समझना आवश्यक होता है।
स्लाइड 4: कस्टम वजन (Custom Weights):
जब डेटा के विभिन्न हिस्सों को अलग-अलग स्तर का महत्व देना हो—जैसे किसी परीक्षा में आंतरिक मूल्यांकन, प्रोजेक्ट और अंतिम परीक्षा के अंक—तब हम सापेक्ष भार का उपयोग करते हैं।
स्लाइड 5: डेटा का दृश्यावलोकन (Visualisation):
इस अध्याय का दूसरा मुख्य भाग जटिल डेटा को प्रभावी ढंग से समझना है, जिसमें हम क्लस्टर-कॉलम चार्ट, स्टैक्ड बार चार्ट और 100% स्टैक्ड बार चार्ट का उपयोग करना सीखते हैं।
स्लाइड 6: ऐतिहासिक पृष्ठभूमि - ब्रह्मगुप्त:
प्राचीन भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (लगभग 628 ई.) ने अनियमित आकार के गड्ढे की औसत गहराई निकालने के लिए भारित औसत के सूत्र का प्रयोग किया था।
स्लाइड 7: श्रीधराचार्य का योगदान:
गणितज्ञ श्रीधराचार्य (लगभग 750 ई.) ने सोने की मिश्रधातुओं की शुद्धता (वर्ण/कैरेट) मापने के लिए भारित औसत की अवधारणा का उपयोग किया था।
स्लाइड 8: स्टैक्ड बार चार्ट की उपयोगिता:
स्टैक्ड बार चार्ट कुल योग को तो दिखाते ही हैं, साथ ही यह भी बताते हैं कि वह कुल योग किन-किन छोटे घटकों से मिलकर बना है।
स्लाइड 9: 100% स्टैक्ड बार चार्ट:
यह चार्ट पाई चार्ट का एक बेहतरीन रैखिक विकल्प है, जो कुल लंबाई को 100% मानकर विभिन्न श्रेणियों के सापेक्ष अनुपातों (Proportions) की तुलना करने में सहायता करता है।
स्लाइड 10: अध्याय का मुख्य उद्देश्य:
विभिन्न प्रकार के डेटा को संयोजित करना, भारित माध्य की गणना करना और ग्राफिकली रूप से सही निष्कर्ष निकालना इस अध्याय का मुख्य उद्देश्य है।
स्लाइड 1: भारित औसत (Weighted Mean) का सूत्र:
यदि मान x₁, x₂, ..., xₙ हैं और उनके संगत भार w₁, w₂, ..., wₙ हैं, तो भारित औसत का सूत्र है:
सूत्र: (w₁x₁ + w₂x₂ + ... + wₙxₙ) / (w₁ + w₂ + ... + wₙ)
स्लाइड 2: औसत का औसत (Average of Averages):
दो अलग-अलग समूहों (जैसे सीनियर और जूनियर) के औसत को सीधे आपस में जोड़कर 2 से भाग देना गलत होता है। सही औसत निकालने के लिए उनके सदस्यों की संख्या (Weights) से गुणा करना अनिवार्य है।
स्लाइड 3: मिश्रण की सांद्रता (Concentration of Mixtures):
जब अलग-अलग मात्रा और सांद्रता वाले घोलों को मिलाया जाता है, तो मिश्रण की अंतिम सांद्रता प्रत्येक घोल द्वारा योगदान की गई मात्रा पर निर्भर करती है।
स्लाइड 4: कस्टम वेट्स (सापेक्ष महत्व):
मूल्यांकन के विभिन्न तरीकों (जैसे आंतरिक परीक्षा, प्रोजेक्ट, अंतिम परीक्षा) को जब एक निश्चित अनुपात (जैसे 3:2:5) में जोड़ा जाता है, तो वह भारित माध्य का एक उत्कृष्ट उदाहरण बनता है।
स्लाइड 5: ब्रह्मगुप्त का गहराई सूत्र:
प्राचीन भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने विभिन्न लंबाइयों और अलग-अलग गहराइयों वाले अनियमित गड्ढों की औसत गहराई निकालने के लिए इसी भारित माध्य सूत्र का उपयोग किया था।
स्लाइड 6: श्रीधराचार्य और स्वर्ण शुद्धता (वर्ण):
प्राचीन काल में सोने के विभिन्न टुकड़ों को पिघलाकर उनकी शुद्धता (वर्ण/कैरेट) निकालने के लिए भी भारित औसत का ही उपयोग किया जाता था।
स्लाइड 7: क्लस्टर-कॉलम चार्ट (Cluster-Column Chart):
विभिन्न श्रेणियों (जैसे आवास, भोजन, शिक्षा) में अलग-अलग परिवारों या समूहों के खर्च की सीधी तुलना करने के लिए यह उपयोगी होता है।
स्लाइड 8: स्टैक्ड बार चार्ट (Stacked Bar Chart):
यह चार्ट कुल योग (Total) को एक सीधी पट्टी के रूप में दिखाता है और उसके भीतर के घटकों को क्रमानुसार जोड़कर प्रदर्शित करता है।
स्लाइड 9: 100% स्टैक्ड बार चार्ट:
यह चार्ट कुल लंबाई को 100% मानकर विभिन्न श्रेणियों के केवल सापेक्ष अनुपातों (Proportions/Percentages) की तुलना करता है, न कि वास्तविक संख्याओं की।
स्लाइड 10: डेटा विश्लेषण का निष्कर्ष:
केवल किसी डेटा के साधारण औसत पर निर्भर रहने से उसकी आंतरिक विविधता छिप सकती है; अतः भारित माध्य और सही आलेख का चयन करना आवश्यक है।
स्लाइड 1: प्रश्न 1 (संयुक्त औसत - Combined Average):
प्रश्न: सेक्शन A के छात्रों का औसत अंक 72 (छात्र 30) और सेक्शन B का औसत अंक 76 (छात्र 25) है। दोनों सेक्शन का संयुक्त औसत ज्ञात कीजिए[cite: 22]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (सेक्शन A के कुल अंक): छात्रों की संख्या को उनके औसत अंक से गुणा करने पर: 300 छात्र × 72 औसत = 2160 कुल अंक[cite: 22]। (यहाँ 30 छात्र हैं, अतः 30 × 72 = 2160)।
पद 2 (सेक्शन B के कुल अंक): 25 छात्र × 76 औसत = 1900 कुल अंक[cite: 22]।
पद 3 (कुल छात्र और संयुक्त औसत):
कुल छात्रों की संख्या = 30 + 25 = 55 छात्र[cite: 22]।
संयुक्त औसत = (सेक्शन A के कुल अंक + सेक्शन B के कुल अंक) ÷ कुल छात्रों की संख्या
= (2160 + 1900) ÷ 55 = 4060 ÷ 55 = 73.82।
स्लाइड 2: प्रश्न 2 (मिश्रण सांद्रता - Mixture Concentration):
प्रश्न: 600 mL घोल (जिसमें 5% नमक है) को 300 mL घोल (जिसमें 8% चीनी है) के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण में नमक और चीनी का प्रतिशत ज्ञात कीजिए[cite: 25]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (कुल मिश्रण का आयतन): 600 mL + 300 mL = 900 mL कुल मिश्रण[cite: 25]।
पद 2 (नमक की मात्रा और प्रतिशत):
नमक की मात्रा = 600 mL का 5% = (600 × 5) ÷ 100 = 30 mL[cite: 25]।
मिश्रण में नमक का प्रतिशत = (30 ÷ 900) × 100 = 3.33%[cite: 25]।
पद 3 (चीनी की मात्रा और प्रतिशत):
चीनी की मात्रा = 300 mL का 8% = (300 × 8) ÷ 100 = 24 mL[cite: 25]।
मिश्रण में चीनी का प्रतिशत = (24 ÷ 900) × 100 = 2.67%[cite: 25]।
स्लाइड 3: प्रश्न 3 (शेयरों का नया औसत मूल्य):
प्रश्न: श्रेयस के पास 150 रुपये के औसत मूल्य पर 25 शेयर हैं। वह 30 रुपये प्रति शेयर की दर से 10 नए शेयर खरीदता है। अब उसके शेयरों का नया औसत मूल्य क्या होगा[cite: 41]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (पहले के शेयरों का कुल मूल्य): 25 शेयर × 150 रुपये = 3750 रुपये[cite: 41]।
पद 2 (नए खरीदे गए शेयरों का कुल मूल्य): 10 शेयर × 30 रुपये = 300 रुपये[cite: 41]।
पद 3 (कुल शेयर और नया औसत मूल्य):
कुल शेयरों की संख्या = 25 + 10 = 35 शेयर[cite: 41]।
कुल मूल्य = 3750 + 300 = 4050 रुपये[cite: 41]।
नया औसत मूल्य = कुल मूल्य ÷ कुल शेयर = 4050 ÷ 35 = 115.71 रुपये प्रति शेयर[cite: 41]।
स्लाइड 4: प्रश्न 4 (क्रिकेट रन रेट):
प्रश्न: एक टी20 मैच में पहले ओवर में 6 रन बने (रन रेट 6)। दूसरे ओवर में 12 रन बने। दो ओवरों के बाद टीम का नया औसत रन रेट क्या होगा?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (कुल रन): पहले ओवर के रन (6) + दूसरे ओवर के रन (12) = 18 कुल रन।
पद 2 (कुल ओवर): खेले गए कुल ओवर = 2 ओवर।
पद 3 (नया रन रेट): रन रेट = कुल रन ÷ कुल ओवर = 18 ÷ 2 = 9 रन प्रति ओवर।
स्लाइड 5: प्रश्न 5 (उर्वरक मिश्रण में नाइट्रोजन):
प्रश्न: एक किसान तीन समान मात्रा में उर्वरक मिलाता है। पहले में 1/10, दूसरे में 9/50 और तीसरे में 3/60 भाग नाइट्रोजन है। मिश्रण में नाइट्रोजन का कुल अंश ज्ञात कीजिए[cite: 22]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (समान मात्रा का सिद्धांत): चूँकि तीनों उर्वरक समान मात्रा में मिलाए गए हैं, इसलिए हम तीनों भिन्नों का साधारण औसत (योग करके 3 से भाग) निकाल सकते हैं[cite: 20, 22]।
पद 2 (भिन्नों का योग):
(1/10) + (9/50) + (3/60)
लघुत्तम (LCM) लेने पर = (30 + 54 + 15) ÷ 300 = 99 ÷ 300 = 33 ÷ 100।
पद 3 (औसत निकालना): (33 ÷ 100) ÷ 3 = 33 ÷ 300 = 0.11 (या 11%)।
स्लाइड 6: प्रश्न 6 (स्वर्ण शुद्धता - वर्ण गणना):
प्रश्न: एक सुनार तीन सोने के टुकड़े पिघलाकर मिलाता है: 9 यूनिट (12 वर्ण), 5 यूनिट (10 वर्ण) और 17 यूनिट (11 वर्ण)। संयुक्त सोने की शुद्धता वर्ण में ज्ञात कीजिए[cite: 22, 23]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (कुल शुद्धता का योग):
(9 × 12) + (5 × 10) + (17 × 11)
= 108 + 50 + 187 = 345 वर्ण-इकाई।
पद 2 (कुल वजन/इकाइयाँ): 9 + 5 + 17 = 31 कुल इकाइयाँ।
पद 3 (संयुक्त शुद्धता): कुल शुद्धता ÷ कुल इकाइयाँ = 345 ÷ 31 = 11.13 वर्ण।
स्लाइड 7: प्रश्न 7 (शैक्षणिक मूल्यांकन और भारांक):
प्रश्न: रहमत के गणित में अंक इस प्रकार हैं: आंतरिक परीक्षण में 60%, प्रोजेक्ट में 64% और अंतिम परीक्षा में 73%। यदि मूल्यांकन का भारांक अनुपात 3:2:5 हो, तो उसका वार्षिक प्रतिशत स्कोर ज्ञात कीजिए[cite: 23, 24]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (भारित अंकों की गणना):
आंतरिक परीक्षण के अंक × 3 = 60 × 3 = 180
प्रोजेक्ट के अंक × 2 = 64 × 2 = 128
अंतिम परीक्षा के अंक × 5 = 73 × 5 = 365
पद 2 (कुल भार और योग):
भारों का कुल योग = 3 + 2 + 5 = 10[cite: 24]।
कुल भारित अंक = 180 + 128 + 365 = 673[cite: 24]।
पद 3 (वार्षिक स्कोर): 673 ÷ 10 = 67.3%[cite: 24]।
स्लाइड 8: प्रश्न 8 (लंगूरों के वजन का अनुप्रयोग):
प्रश्न: एक सुविधा केंद्र में नर लंगूरों का औसत वजन 16.5 किग्रा, मादा लंगूरों का 13.8 किग्रा और कुल 60 लंगूरों का औसत 14.925 किग्रा है। नर और मादा लंगूरों की संख्या ज्ञात कीजिए[cite: 26, 27]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (समीकरण की रचना):
मान लीजिए नर लंगूरों की संख्या 'x' है और मादा लंगूरों की संख्या 'y' है[cite: 27]।
कुल लंगूर: x + y = 60[cite: 27]।
पद 2 (भारित औसत समीकरण):
(16.5x + 13.8y) ÷ 60 = 14.925[cite: 27]
16.5x + 13.8(60 - x) = 60 × 14.925 = 895.5
16.5x + 828 - 13.8x = 895.5
2.7x = 895.5 - 828 = 67.5
पद 3 (संख्या निकालना):
x = 67.5 ÷ 2.7 = 25 (नर लंगूर)
y = 60 - 25 = 35 (मादा लंगूर)।
स्लाइड 9: प्रश्न 9 (मृत सागर की लवणता):
प्रश्न: मृत सागर के पानी की लवणता लगभग 34% है और शुद्ध पेयजल की 0.001% है। यदि 1 लीटर मृत सागर के पानी में 2 लीटर शुद्ध पेयजल मिलाया जाए, तो नए मिश्रण की लवणता क्या होगी[cite: 26, 28]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (कुल मात्रा): 1 लीटर (मृत सागर) + 2 लीटर (पेयजल) = 3 लीटर कुल मिश्रण।
पद 2 (नमक/लवण की मात्रा):
मृत सागर से आया लवण = 1 लीटर का 34% = 0.34 लीटर।
पेयजल से आया लवण = लगभग 0 (नगण्य)।
पद 3 (मिश्रण की लवणता): कुल लवण ÷ कुल पानी = 0.34 ÷ 3 = 0.1133... अर्थात् लगभग 11.33%।
स्लाइड 10: प्रश्न 10 (स्टैक्ड बार चार्ट की सीमाएँ):
प्रश्न: 100% स्टैक्ड बार चार्ट और सामान्य स्टैक्ड बार चार्ट में क्या मुख्य अंतर है[cite: 33, 34]?
🔍 पूर्ण विस्तृत हल:
पद 1 (स्टैक्ड बार चार्ट): यह डेटा के वास्तविक कुल मानों (Absolute Totals) के साथ-साथ उसके भीतर के घटकों को भी स्पष्ट रूप से दिखाता है[cite: 29]।
पद 2 (100% स्टैक्ड बार चार्ट): यह कुल लंबाई को 100% मानकर केवल विभिन्न श्रेणियों के **सापेक्ष अनुपातों या प्रतिशत (Proportions/Percentages)** की तुलना करता है[cite: 31, 33]।
निष्कर्ष: इससे यह पता नहीं चलता कि अलग-अलग समूहों के वास्तविक आंकड़े (Numbers) आपस में कितने हैं, यह केवल प्रतिशत हिस्सेदारी को दर्शाता है[cite: 33, 34]।
स्लाइड 1: शॉर्ट-नोट 1 (भारित माध्य):
जब विभिन्न आंकड़ों का महत्व या आकार अलग-अलग हो, तब साधारण औसत के स्थान पर **भारित माध्य (Weighted Mean)** का उपयोग करना अनिवार्य होता है।
स्लाइड 2: शॉर्ट-नोट 2 (ऐतिहासिक योगदान):
गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने गड्ढों की गहराई निकालने के लिए और श्रीधराचार्य ने सोने की शुद्धता (वर्ण) मापने के लिए भारित औसत के नियमों का उपयोग किया था।
स्लाइड 3: त्वरित याद रखें (मिश्रण नियम):
दो अलग-अलग सांद्रता वाले घोलों को मिलाने पर बनने वाले नए मिश्रण की सांद्रता उनके आयतन (वॉल्यूम) के अनुपात पर आधारित होती है।
स्लाइड 4: शॉर्ट-नोट 4 (क्लस्टर-कॉलम चार्ट):
यह चार्ट अलग-अलग श्रेणियों में विभिन्न समूहों या परिवारों के खर्च या डेटा की सीधी और स्पष्ट तुलना करने में मदद करता है।
स्लाइड 5: शॉर्ट-नोट 5 (स्टैक्ड बार चार्ट):
इस आलेख का उपयोग तब किया जाता है जब हमें कुल योग (Total) के साथ-साथ यह भी देखना हो कि वह कुल किन-किन छोटे घटकों से मिलकर बना है।
स्लाइड 6: त्वरित याद रखें (100% स्टैक्ड बार चार्ट):
यह चार्ट पाई चार्ट का एक बेहतरीन रैखिक विकल्प है, जो कुल लंबाई को 100% मानकर विभिन्न भागों के प्रतिशत अनुपात को दर्शाता है।
स्लाइड 7: शॉर्ट-नोट 7 (सीमाएँ):
100% स्टैक्ड बार चार्ट केवल प्रतिशत अनुपात की तुलना करता है; यह यह नहीं बताता कि दोनों समूहों के वास्तविक कुल आंकड़े (Totals) आपस में बराबर हैं या नहीं।
स्लाइड 8: शॉर्ट-नोट 8 (औसत का भ्रम):
केवल किसी विविधतापूर्ण डेटा के साधारण औसत पर निर्भर रहने से उसकी आंतरिक भिन्नताएँ (जैसे आयु-विशेष या क्षेत्र-विशेष के रुझान) छिप जाती हैं।
स्लाइड 9: परीक्षा टिप:
प्रतियोगिता परीक्षाओं में भारित औसत और मिश्रण के सवाल अक्सर वजन या संख्या के अनुपात पर आधारित होते हैं, जिन्हें भारांक सूत्र से आसानी से हल किया जा सकता है।
स्लाइड 10: अध्याय का सार:
डेटा को केवल संख्यात्मक रूप से देखने के बजाय सही आलेखों (Charts) और भारित विधियों के माध्यम से विश्लेषण करना ही इस अध्याय की मूल भावना है।
प्रश्न 1: यदि किसी डेटा में मान x₁, x₂ और उनके संगत भार w₁, w₂ हैं, तो भारित औसत (Weighted Mean) का सही सूत्र क्या है?
(अ) (x₁ + x₂)/2
(ब) (w₁x₁ + w₂x₂) / (w₁ + w₂)
(स) (w₁ + w₂) / (x₁ + x₂)
(द) इनमें से कोई नहीं
उत्तर: (ब) (w₁x₁ + w₂x₂) / (w₁ + w₂)
प्रश्न 2: 100% स्टैक्ड बार चार्ट का उपयोग मुख्य रूप से किस उद्देश्य के लिए किया जाता है?
(अ) कुल मानों की सटीक गिनती के लिए
(ब) विभिन्न घटकों के प्रतिशत अनुपातों (Proportions) की तुलना के लिए
(स) समय अवधि मापने के लिए
(द) तापमान मापने के लिए
उत्तर: (ब) विभिन्न घटकों के प्रतिशत अनुपातों की तुलना के लिए
प्रश्न 3: प्राचीन भारत में किस गणितज्ञ ने सोने की शुद्धता (वर्ण) मापने के लिए भारित औसत की विधि का उपयोग किया था?
(अ) आर्यभट्ट
(ब) ब्रह्मगुप्त
(स) श्रीधराचार्य
(द) भास्करचार्य
उत्तर: (स) श्रीधराचार्य
प्रश्न 4: यदि सेक्शन A (30 छात्र) का औसत 72 और सेक्शन B (25 छात्र) का औसत 76 है, तो संयुक्त औसत निकालने के लिए किस विधि का उपयोग किया जाना चाहिए?
(अ) दोनों औसतों को जोड़कर 2 से भाग देना
(ब) भारित औसत (छात्रों की संख्या से गुणा करके कुल योग निकालना)
(स) केवल बड़े औसत को मानना
(द) अंतर निकालना
उत्तर: (ब) भारित औसत (छात्रों की संख्या से गुणा करके कुल योग निकालना)
प्रश्न 5: प्राचीन गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने अपनी किस पुस्तक में अनियमित आकार के गड्ढे की औसत गहराई के लिए सूत्र दिया था?
(अ) लीलावती
(ब) ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त
(स) पाटीगणित
(द) आर्यभटीय
उत्तर: (ब) ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त
प्रश्न 6: कौन सा चार्ट कुल योग के साथ-साथ उसके आंतरिक घटकों (Components) को क्रमानुसार एक ही पट्टी पर प्रदर्शित करता है?
(अ) पाई चार्ट
(ब) स्टैक्ड बार चार्ट (Stacked Bar Chart)
(स) साधारण लाइन ग्राफ
(द) हिस्टोग्राम
उत्तर: (ब) स्टैक्ड बार चार्ट (Stacked Bar Chart)
प्रश्न 7: यदि एक 600 mL घोल में 5% नमक है, तो उस घोल में शुद्ध नमक की मात्रा कितनी होगी?
(अ) 10 mL
(ब) 20 mL
(स) 30 mL
(द) 50 mL
उत्तर: (स) 30 mL (600 का 5%)
प्रश्न 8: निम्नलिखित में से कौन सा चार्ट केवल सापेक्ष अनुपातों की तुलना करता है लेकिन वास्तविक कुल संख्याओं (Absolute numbers) को नहीं दर्शाता?
(अ) क्लस्टर कॉलम चार्ट
(ब) 100% स्टैक्ड बार चार्ट
(स) साधारण बार ग्राफ
(द) स्कैटर प्लॉट
उत्तर: (ब) 100% स्टैक्ड बार चार्ट
प्रश्न 9: यदि किसी परीक्षा में आंतरिक मूल्यांकन, प्रोजेक्ट और अंतिम परीक्षा का अनुपात 3:2:5 है, तो यह किस गणितीय अवधारणा का प्रतिनिधित्व करता है?
(अ) साधारण प्रायिकता
(ब) भारित औसत / भारित माध्य (Weighted Mean)
(स) ज्यामितीय माध्य
(द) बहुलक
उत्तर: (ब) भारित औसत / भारित माध्य (Weighted Mean)
प्रश्न 10: किसी विविधतापूर्ण डेटा का केवल साधारण औसत निकालने से क्या नुकसान हो सकता है?
(अ) गणना कठिन हो जाती है
(ब) डेटा की आंतरिक भिन्नताएँ और विशेषताएँ छिप जाती हैं
(स) मान हमेशा शून्य हो जाता है
(द) कोई नुकसान नहीं होता
उत्तर: (ब) डेटा की आंतरिक भिन्नताएँ और विशेषताएँ छिप जाती हैं