(अध्याय 9: साध्य और उनके विलोम

स्लाइड 2: सिंधु-सरस्वती सभ्यता का योगदान:

भारत में ग्रिड आधारित सोच और ज्यामिति की गहरी ऐतिहासिक जड़ें हैं। सिंधु-सरस्वती सभ्यता में हजारों साल पहले उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम दिशाओं में लगभग 10 मीटर की एकसमान दूरी पर सटीक सड़कों का निर्माण हुआ था[cite: 1]。

स्लाइड 3: बौधायन और ज्यामितीय रचना:

प्राचीन भारतीय गणितज्ञ बौधायन (लगभग 800 ई.पू.) ने गहरी ज्यामितीय रचनाओं के लिए पूर्व-पश्चिम और उत्तर-दक्षिण रेखाओं का उपयोग किया, जिससे 'बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय' की नींव पड़ी[cite: 1]。

स्लाइड 4: उज्जैन (उज्जयिनी) का ऐतिहासिक महत्व:

चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से उज्जयिनी को केंद्रीय देशांतर मध्याह्न (central longitude meridian) के रूप में माना जाता था, जहाँ से प्राचीन दुनिया में अन्य सभी स्थानों की दूरियाँ मापी जाती थीं[cite: 1]。

स्लाइड 5: ब्रह्मगुप्त और ऋणात्मक संख्याएँ:

ब्रह्मगुप्त (लगभग 628 ई.) ने शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को बीजगणितीय इकाइयों के रूप में औपचारिक रूप दिया, जिसके बिना आधुनिक चार-चतुर्थांश (four-quadrant) कार्तीय तल की कल्पना करना असंभव था[cite: 1]。

स्लाइड 6: रेने देकार्त (René Descartes) का योगदान:

17वीं शताब्दी में रेने देकार्त (1637 ई.) ने यह औपचारिक रूप दिया कि द्विदिशीय (2-D) समतल में किसी भी बिंदु को दो लंबवत अक्षों से उसकी दूरियों के माध्यम से सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है[cite: 2]。

स्लाइड 7: व्यावहारिक कहानी (रेइआन और शालिनी):

इस अध्याय की शुरुआत एक प्रेरणादायक कहानी से होती है जहाँ शालिनी निर्देशांक ज्यामिति का उपयोग करके अपने भाई रेइआन को नए कमरे के लेआउट और वस्तुओं की स्थिति को छूकर महसूस करने में मदद करती है[cite: 2, 3]。

स्लाइड 8: 2-D कार्तीय समन्वय प्रणाली:

इसमें दो परस्पर लंबवत रेखाएँ होती हैं—क्षैतिज रेखा को x-अक्ष (x-axis) और ऊर्ध्वाधर रेखा को y-अक्ष (y-axis) कहते हैं। इनके प्रतिच्छेदन बिंदु को मूलबिंदु (Origin O) कहते हैं, जिसके निर्देशांक $(0, 0)$ होते हैं[cite: 3]。

स्लाइड 9: चतुर्थांश (Quadrants) और चिह्न परिपाटी:

अक्ष समतल को चार भागों में बांटते हैं जिन्हें चतुर्थांश कहते हैं। प्रथम में $(+, +)$, द्वितीय में $(-, +)$, तृतीय में $(-, -)$ और चतुर्थ में $(+, -)$ चिह्न होते हैं[cite: 6, 7]。

स्लाइड 10: दो बिंदुओं के बीच की दूरी:

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके हम समतल में किन्हीं भी दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी सूत्र $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ से आसानी से ज्ञात करना सीखते हैं[cite: 10, 11]。

स्लाइड 2: मूलबिंदु (Origin, O):

x-अक्ष और y-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूलबिंदु (Origin) कहते हैं[cite: 3]। इसके निर्देशांक हमेशा (0, 0) होते हैं[cite: 3]। यहीं से सभी दूरियाँ मापी जाती हैं[cite: 3]。

स्लाइड 3: निर्देशांकों की चिह्न परिपाटी (Sign Conventions):

मूलबिंदु से दाईं ओर या ऊपर की दूरियाँ धनात्मक (+) होती हैं, तथा बाईं ओर या नीचे की दूरियाँ ऋणात्मक (-) होती हैं[cite: 3]。

स्लाइड 4: अक्षों पर स्थित बिंदुओं के निर्देशांक:

x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक (x, 0) रूप के होते हैं, और y-अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक (0, y) रूप के होते हैं[cite: 4, 15]。

स्लाइड 5: चार चतुर्थांश (Four Quadrants):

अक्ष समतल को चार भागों (चतुर्थांश) में बांटते हैं: - Quadrant I: $(+, +)$
- Quadrant II: $(-, +)$
- Quadrant III: $(-, -)$
- Quadrant IV: $(+, -)$[cite: 7, 15]

स्लाइड 6: निर्देशांकों का अर्थ (x और y):

किसी बिंदु P(x, y) में x उसकी y-अक्ष से लंबवत दूरी है, और y उसकी x-अक्ष से लंबवत दूरी है[cite: 6]।

स्लाइड 7: अक्षों के समांतर दूरी (Distance Parallel to Axes):

यदि दो बिंदुओं के y-निर्देशांक समान हैं, तो उनके बीच की दूरी x-निर्देशांकों का अंतर $|x_2 - x_1|$ होती है। इसी प्रकार x समान होने पर $|y_2 - y_1|$ होती है[cite: 15]。

स्लाइड 8: बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय (Baudhāyana-Pythagoras Theorem):

समकोण त्रिभुज में कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसी सिद्धांत का उपयोग तिरछी रेखाओं की लंबाई निकालने के लिए किया जाता है[cite: 9]。

स्लाइड 9: दो बिंदुओं के बीच की दूरी का सूत्र (Distance Formula):

समतल में किन्हीं भी दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने का सार्वभौमिक सूत्र निम्नलिखित है[cite: 11, 15]:

स्लाइड 10: दर्पण प्रतिबिंब (Mirror Reflection):

किसी बिंदु को x-अक्ष या y-अक्ष के परितः परावर्तित (reflect) करने पर उसकी दूरियाँ और आकृतियों की लंबाई (जैसे त्रिभुज की भुजाएँ) अपरिवर्तित रहती हैं[cite: 11]。

स्लाइड 2: प्रश्न 2:

प्रश्न: बिंदु W का x-निर्देशांक 5 है। बिंदु H के निर्देशांक क्या होंगे जो W से गुजरने वाली और y-अक्ष के समांतर रेखा पर है? H किस चतुर्थांश में हो सकता है?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (x-निर्देशांक): चूँकि बिंदु H, y-अक्ष के समांतर रेखा पर स्थित है, इसलिए समांतर रेखा पर x का मान नियत रहता है। अतः H का x-निर्देशांक भी 5 होगा।

पद 2 (चतुर्थांश विश्लेषण): x धनात्मक (+5) होने के कारण यह y-अक्ष के दाईं ओर स्थित है।

निष्कर्ष: बिंदु H के निर्देशांक (5, y) होंगे और यह प्रथम (I) या चतुर्थ (IV) चतुर्थांश में स्थित हो सकता है।

स्लाइड 3: प्रश्न 3:

प्रश्न: बिंदु R(3,0), A(0,-2), M(-5,-2), P(-5,2) को मिलाने पर (i) लंबवत भुजाएँ (ii) अक्ष के समांतर भुजा (iii) दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (समांतर भुजा): बिंदु M(-5, -2) और A(0, -2) का y-मान समान है, अतः भुजा MA x-अक्ष के समांतर है। इसी तरह भुजा MP y-अक्ष के समांतर है।

पद 2 (लंबवत भुजाएँ): चूँकि क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखाएँ समकोण पर मिलती हैं, अतः भुजा MP और MA एक-दूसरे पर लंबवत हैं।

पद 3 (दर्पण प्रतिबिंब): बिंदु M(-5, -2) और P(-5, 2) के y-निर्देशांक विपरीत चिह्न के हैं, अतः ये x-अक्ष के सापेक्ष एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हैं।

स्लाइड 4: प्रश्न 4:

प्रश्न: बिंदु Z(5, -6) को आरेखित कीजिए। एक समकोण त्रिभुज IZN की रचना करके इसकी तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (अन्य बिंदुओं का चयन): मान लीजिए N(5, 1) और I(2, 1) लेते हैं ताकि त्रिभुज IZN बने जिसमें N पर समकोण हो।

पद 2 (भुजाओं की गणना): - IN = |5 - 2| = 3 इकाई।
- NZ = |1 - (-6)| = 7 इकाई।

पद 3 (कर्ण IZ): बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय से: $IZ = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} =$ $\sqrt{58}$ इकाई।

स्लाइड 5: प्रश्न 5:

प्रश्न: यदि हमारे पास ऋणात्मक संख्याएँ न हों, तो निर्देशांक प्रणाली कैसी होगी? क्या इससे 2-D समतल के सभी बिंदु खोजे जा सकते हैं?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (सीमा विश्लेषण): यदि ऋणात्मक संख्याएँ न हों, तो कार्तीय तल केवल प्रथम चतुर्थांश (Quadrant I) तक सीमित हो जाएगा।

पद 2 (मूलबिंदु की स्थिति): मूलबिंदु तल का केंद्र न रहकर उसका कोना बन जाएगा।

निष्कर्ष: नहीं, ऐसी प्रणाली से हम 2-D समतल के सभी बिंदुओं को नहीं खोज पाएंगे, क्योंकि अन्य तीन चतुर्थांश छूट जाएंगे।

स्लाइड 6: प्रश्न 6:

प्रश्न: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु M(-3, -4), A(0, 0) और G(6, 8) एक ही सीधी रेखा पर हैं?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (दूरी सूत्र द्वारा लम्बाइयाँ): - MA = $\sqrt{(0 - (-3))^2 + (0 - (-4))^2} = \sqrt{9 + 16} =$ 5 इकाई。
- AG = $\sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} =$ 10 इकाई。
- MG = $\sqrt{(6 - (-3))^2 + (8 - (-4))^2} = \sqrt{81 + 144} =$ 15 इकाई।

निष्कर्ष: चूकि $MA + AG = 5 + 10 = 15 = MG$, अतः ये तीनों बिंदु एक ही सीधी रेखा पर संरेख हैं।

स्लाइड 7: प्रश्न 7:

प्रश्न: जाँच कीजिए कि क्या बिंदु R(-5, -1), B(-2, -5) और C(4, -12) एक ही सीधी रेखा पर हैं?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (दूरियों की गणना): - RB = $\sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{9 + 16} =$ 5 इकाई。
- BC = $\sqrt{(4 - (-2))^2 + (-12 - (-5))^2} = \sqrt{36 + 49} = \sqrt{85} \approx$ 9.22 इकाई。
- RC = $\sqrt{(4 - (-5))^2 + (-12 - (-1))^2} = \sqrt{81 + 121} = \sqrt{202} \approx$ 14.21 इकाई।

निष्कर्ष: यहाँ $RB + BC \neq RC$ ($5 + 9.22 \neq 14.21$), अतः ये बिंदु एक सीधी रेखा पर नहीं हैं।

स्लाइड 8: प्रश्न 8:

प्रश्न: मूलबिंदु को एक शीर्ष मानते हुए (i) समद्विबाहु समकोण त्रिभुज (ii) ऐसा समद्विबाहु त्रिभुज जिसके शीर्ष III और IV चतुर्थांश में हों, के शीर्ष लिखिए।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (समद्विबाहु समकोण): शीर्ष O(0,0), A(4,0) और B(0,4) लीजिए। यहाँ $OA = OB = 4$ और मूलबिंदु पर समकोण है।

पद 2 (III और IV चतुर्थांश वाला): शीर्ष O(0,0), P(-3,-4) [III चतुर्थांश] और Q(3,-4) [IV चतुर्थांश] लीजिए। यहाँ $OP = OQ = 5$ इकाई है, अतः यह समद्विबाहु त्रिभुज है।

स्लाइड 9: प्रश्न 9:

प्रश्न: तालिका के आधार पर बताइए कि क्या M, रेखाखंड ST का मध्यबिंदु है? (i) S(-3,0), M(0,0), T(3,0) (ii) S(2,3), M(3,4), T(4,5)

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (स्थिति 1): S(-3,0) और T(3,0) के लिए $SM = 3$ और $MT = 3$ है। चूँकि दूरियाँ बराबर हैं, अतः हाँ, M मध्यबिंदु है।

पद 2 (स्थिति 2): S(2,3) और T(4,5) के लिए x का मध्यमान $\frac{2+4}{2} = 3$ और y का मध्यमान $\frac{3+5}{2} = 4$ है। यह M(3,4) से मेल खाता है, अतः हाँ, M मध्यबिंदु है।

स्लाइड 10: प्रश्न 10:

प्रश्न: मध्यबिंदु संबंध का उपयोग करके बिंदु B(x, y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए यदि M(-7, 1) बिंदु A(3, -4) और B का मध्यबिंदु है।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (मध्यबिंदु सूत्र): $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$ और $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

पद 2 (मान रखना): - $-7 = \frac{3 + x}{2} \implies -14 = 3 + x \implies x =$ -17
- $1 = \frac{-4 + y}{2} \implies 2 = -4 + y \implies y =$ 6

निष्कर्ष: बिंदु B के निर्देशांक (-17, 6) हैं।

स्लाइड 11: प्रश्न 11:

प्रश्न: A(4, 7) और B(16, -2) के त्रिभाजन बिंदु (points of trisection) P और Q के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (अन्तर का विभाजन): x में कुल अंतर $16 - 4 = 12$ ($3$ भागों में = $4$ प्रति भाग), y में अंतर $-2 - 7 = -9$ ($-3$ प्रति भाग)।

पद 2 (बिंदु P और Q): - बिंदु P (A से 1 कदम आगे): $x_P = 4 + 4 = 8$, $y_P = 7 - 3 = 4 \implies$ P(8, 4)
- बिंदु Q (P से 1 कदम आगे): $x_Q = 8 + 4 = 12$, $y_Q = 4 - 3 = 1 \implies$ Q(12, 1)

स्लाइड 12: प्रश्न 12:

प्रश्न: दर्शाइए कि A(1,-8), B(-4,7), C(-7,-4) मूलबिंदु O(0,0) वाले वृत्त पर हैं। त्रिज्या ज्ञात कीजिए। D(-5,6) और E(0,9) की स्थिति भी जाँचिए।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (त्रिज्या): $OA = OB = OC = \sqrt{1^2 + (-8)^2} =$ $\sqrt{65}$ इकाई (वृत्त की त्रिज्या)।

पद 2 (D और E की जाँच): - $OD = \sqrt{(-5)^2 + 6^2} = \sqrt{61} < \sqrt{65}$ (वृत्त के अंदर)
- $OE = \sqrt{0^2 + 9^2} = 9 > \sqrt{65}$ (वृत्त के बाहर)

स्लाइड 13: प्रश्न 13:

प्रश्न: यदि त्रिभुज ABC की भुजाओं के मध्यबिंदु D(5,1), E(6,5) और F(0,3) हैं, तो शीर्ष A, B और C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (समीकरण बनाना): मध्यबिंदु संबंधों से $x_1+x_2+x_3 = 11$ और $y_1+y_2+y_3 = 9$ प्राप्त होता है।

पद 2 (शीर्ष निकालना): - $x$ मान: $x_1 = 1, x_2 = 1, x_3 = 11$
- $y$ मान: $y_1 = 7, y_2 = -1, y_3 = 3$

निष्कर्ष: शीर्ष हैं: A(1, 7), B(1, -1), C(11, 3)।

स्लाइड 14: प्रश्न 14:

प्रश्न: शहर की सड़कों के मॉडल में (a) कितनी सड़क प्रच्छेदन को (4, 3) कहा जा सकता है? (b) कितनी सड़क प्रच्छेदन को (3, 4) कहा जा सकता है?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (विश्लेषण): (4, 3) का अर्थ है चौथी N-S सड़क और तीसरी E-W सड़क का मिलन बिंदु।

निष्कर्ष: ऐसी अनूठी क्रॉसिंग केवल एक (1) होती है। अतः (a) और (b) दोनों का उत्तर 1 है।

स्लाइड 15: प्रश्न 15:

प्रश्न: 800x600 स्क्रीन पर A(100,150) [त्रिज्या 80] और B(250,230) [त्रिज्या 100] के दो वृत्त हैं। जाँचिए कि क्या कोई वृत्त बाहर है और क्या वे प्रतिच्छेद करते हैं?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (स्क्रीन जाँच): दोनों वृत्तों की सीमाएँ स्क्रीन (0 से 800 और 0 से 600) के भीतर हैं, अतः कोई भी वृत्त बाहर नहीं है।

पद 2 (प्रतिच्छेदन): केंद्र A और B के बीच की दूरी $AB = \sqrt{150^2 + 80^2} = 170$ पिक्सेल है। चूँकि $170 < (80 + 100 = 180)$, अतः दोनों वृत्त एक-दूसरे को काटते हैं।

स्लाइड 16: प्रश्न 16:

प्रश्न: बिंदुओं A(2,1), B(-1,2), C(-2,-1) और D(1,-2) को आरेखित कीजिए। क्या ABCD एक वर्ग है? इसका क्षेत्रफल क्या है?

🔍 पूर्ण विस्तृत हल:

पद 1 (भुजा और विकर्ण): सभी चारों भुजाएँ $AB = BC = CD = DA =$ $\sqrt{10}$ इकाई हैं और दोनों विकर्ण $AC = BD =$ $\sqrt{20}$ इकाई हैं।

निष्कर्ष: चूँकि सभी भुजाएँ और विकर्ण बराबर हैं, अतः ABCD एक वर्ग (Square) है।

पद 3 (क्षेत्रफल): क्षेत्रफल = $(\text{भुजा})^2 = (\sqrt{10})^2 =$ 10 वर्ग इकाई।

स्लाइड 2: शॉर्ट-नोट 2 (मूलबिंदु):

x-अक्ष और y-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूलबिंदु (Origin, O) कहा जाता है[cite: 3], जिसके निर्देशांक हमेशा (0, 0) होते हैं[cite: 3]。

स्लाइड 3: त्वरित याद रखें (चिह्न परिपाटी):

मूलबिंदु से दाईं ओर या ऊपर की दूरियाँ हमेशा धनात्मक (+) होती हैं, तथा बाईं ओर या नीचे की दूरियाँ ऋणात्मक (-) होती हैं[cite: 3]。

स्लाइड 4: चतुर्थांश नियम (Quadrants):

अक्ष समतल को चार भागों में बांटते हैं: - प्रथम चतुर्थांश: $(+, +)$
- द्वितीय चतुर्थांश: $(-, +)$
- तृतीय चतुर्थांश: $(-, -)$
- चतुर्थ चतुर्थांश: $(+, -)$[cite: 7, 15]

स्लाइड 5: अक्षों पर बिंदु:

x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है (x, 0), और y-अक्ष पर स्थित बिंदु का x-निर्देशांक शून्य होता है (0, y)[cite: 4, 15]。

स्लाइड 6: निर्देशांकों का वास्तविक अर्थ:

किसी बिंदु P(x, y) में 'x' उसकी y-अक्ष से लंबवत दूरी है और 'y' उसकी x-अक्ष से लंबवत दूरी को प्रदर्शित करती है[cite: 6]。

स्लाइड 7: महत्वपूर्ण सूत्र (दूरी सूत्र):

बौधायन-पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके समतल में किन्हीं भी दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी का सूत्र होता है[cite: 9, 11, 15]:

स्लाइड 8: ऐतिहासिक दृष्टिकोण:

ग्रिड आधारित नगर नियोजन की शुरुआत सिंधु-सरस्वती सभ्यता से हुई थी। बाद में ब्रह्मगुप्त ने शून्य/ऋणात्मक संख्याओं को और रेने देकार्त (1637) ने कार्तीय समन्वय प्रणाली को औपचारिक रूप दिया[cite: 1, 2]。

स्लाइड 9: परीक्षा टिप (प्रतिबिंब):

किसी ज्यामितीय आकृति (जैसे त्रिभुज) को किसी अक्ष के परितः परावर्तित (reflect) करने पर उसकी भुजाओं की लंबाई हमेशा अपरिवर्तित (समान) रहती है[cite: 11]。

स्लाइड 10: अध्याय का सार:

निर्देशांक ज्यामिति बीजगणित और ज्यामिति का एक अनूठा संगम है, जो हमें संख्याओं के माध्यम से अंतरिक्ष में किसी भी स्थान को पिनपॉइंट सटीकता के साथ खोजने में सक्षम बनाता है[cite: 2]。

प्रश्न 2: बिंदु (-5, 3) कार्तीय तल के किस चतुर्थांश (Quadrant) में स्थित है?

(अ) प्रथम चतुर्थांश
(ब) द्वितीय चतुर्थांश
(स) तृतीय चतुर्थांश
(द) चतुर्थ चतुर्थांश

उत्तर: (ब) द्वितीय चतुर्थांश[cite: 7]

प्रश्न 3: x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक कितना होता है?

(अ) 1
(ब) -1
(स) 0
(द) कोई भी संख्या

उत्तर: (स) 0[cite: 15]

प्रश्न 4: समतल में किन्हीं दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने का सही सूत्र कौन सा है?

(अ) $\sqrt{(x_2+x_1)^2 + (y_2+y_1)^2}$
(ब) $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
(स) $(x_2-x_1) + (y_2-y_1)$
(द) इनमें से कोई नहीं

उत्तर: (ब) $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$[cite: 11, 15]

प्रश्न 5: प्राचीन भारत में ग्रिड आधारित नगर नियोजन (Grid-based urban planning) का सबसे पहला व्यवस्थित उपयोग कहाँ मिलता है?

(अ) उज्जain में
(ब) सिंधु-सरस्वती सभ्यता में
(स) पाटलिपुत्र में
(द) तक्षशिला में

उत्तर: (ब) सिंधु-सरस्वती सभ्यता में[cite: 1]

प्रश्न 6: बिंदु (4, -5) कार्तीय तल के किस चतुर्थांश में आता है?

(अ) प्रथम
(ब) द्वितीय
(स) तृतीय
(द) चतुर्थ

उत्तर: (द) चतुर्थ चतुर्थांश[cite: 7]

प्रश्न 7: गणित इतिहास में शून्य और ऋणात्मक संख्याओं को बीजगणितीय इकाइयों के रूप में सबसे पहले किसने औपचारिक रूप दिया था?

(अ) आर्यभट्ट
(ब) ब्रह्मगुप्त
(स) बौधायन
(द) भास्करचार्य

उत्तर: (ब) ब्रह्मगुप्त[cite: 1]

प्रश्न 8: मूलबिंदु (0, 0) से बिंदु (3, 4) की सीधी दूरी कितनी होगी?

(अ) 3 इकाई
(ब) 4 इकाई
(स) 5 इकाई
(द) 7 इकाई

उत्तर: (स) 5 इकाई[cite: 9]

प्रश्न 9: 17वीं शताब्दी में किसने औपचारिक रूप से यह स्थापित किया कि 2-D समतल में किसी भी बिंदु को दो संख्याओं (निर्देशांकों) से दर्शाया जा सकता है?

(अ) रेने देकार्त (René Descartes)
(ब) पाइथागोरस
(स) यूक्लिड
(द) न्यूटन

उत्तर: (अ) रेने देकार्त (René Descartes)[cite: 2]

प्रश्न 10: यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक धनात्मक (+) और y-निर्देशांक ऋणात्मक (-) है, तो वह बिंदु किस चतुर्थांश में स्थित होगा?

(अ) प्रथम
(ब) द्वितीय
(स) तृतीय
(द) चतुर्थ

उत्तर: (द) चतुर्थ चतुर्थांश[cite: 7, 15]