*2* | रैखिक बहुपदों का परिचय | Introduction to Linear Polynomials

🔴 भाग 1/4 - परिचय - बहुपद क्या?

बहुपद मतलब बहुत पद होते हैं। पद मतलब हिस्सा होता है। जैसे 2x+3 में दो पद होते हैं। 2x एक पद और 3 दूसरा पद। x चर होता है। चर मतलब बदलने वाला होता है। 2 और 3 अचर होते हैं। अचर मतलब नहीं बदलते हैं। बहुपद में x की घात पूर्ण संख्या होती है। 1,2,3 हो सकती है। ऋण या भिन्न नहीं होती है। यही बहुपद की पहचान होती है।जिसमें x की सबसे बड़ी घात 1 हो वह रैखिक बहुपद होता है। रैखिक मतलब सीधी रेखा होता है। इसका ग्राफ सीधी रेखा बनता है। डिग्री 1 होती है।

🔵 भाग 2/4 - डिग्री और प्रकार

बहुपद में x की सबसे बड़ी घात को डिग्री कहते हैं। डिग्री से प्रकार तय होता है।रैखिक की डिग्री हमेशा 1 होती है। यही इसकी पहचान होती है।एक पद वाला एकपदीय होता है। जैसे 5x। दो पद वाला द्विपदीय होता है। जैसे 2x+3। तीन पद वाला त्रिपदीय होता है। जैसे x²+2x+3। रैखिक बहुपद अधिकतर द्विपदीय होता है। ax+b में दो पद होते हैं। कभी कभी एकपदीय भी हो सकता है। जैसे ax।

🟢 भाग 3/4 - शून्यक और ग्राफ

बहुपद का मान शून्य करने वाला x शून्यक कहलाता है। रैखिक में एक ही शून्यक होता है। क्योंकि डिग्री 1 होती है। जितनी डिग्री उतने शून्यक होते हैं।शून्यक मतलब ग्राफ x-अक्ष को जहाँ काटता है वह बिंदु होता है।रैखिक बहुपद y=ax+b का ग्राफ सीधी रेखा होता है। यह x-अक्ष को एक बार काटता है। काटने वाला बिंदु (-b/a,0) होता है। y-अक्ष को (0,b) पर काटता है। ढाल a होता है। a धन तो ऊपर जाती है। a ऋण तो नीचे जाती है।

🟣 भाग 4/4 - उपयोग और Trick

रैखिक बहुपद रोज़मर्रा में लगता है। दुकान में लाभ हानि ax+b से निकलता है। मोबाइल बिल b + a*x से बनता है। टैक्सी किराया b + a*km से बनता है। गति दूरी में s=vt+b रैखिक होता है। मशीन को y=ax+b कोड से चलाते हैं।यही अग्निवीर में पक्का पूछता है। शून्यक -b/a सबसे ज्यादा पूछता है।

🔴 भाग 1/4 - बहुपद की परिभाषा सिद्धांत

बहुपद में चर की घात पूर्ण संख्या होनी चाहिए। 0,1,2,3 हो सकती है। ऋण नहीं हो सकती। भिन्न नहीं हो सकती। 1/x = x⁻¹ नहीं है बहुपद। √x = x¹/² नहीं है बहुपद।रैखिक बहुपद एक चर में ax+b रूप होता है। a≠0 होना चाहिए। a=0 तो अचर बन जाता है। a गुणांक होता है। b अचर पद होता है।a शून्य नहीं होना चाहिए। वही शर्त होती है।

🔵 भाग 2/4 - डिग्री और शून्यक फॉर्मूला

डिग्री जितनी होती है शून्यक उतने होते हैं। रैखिक की डिग्री 1 इसलिए 1 शून्यक। द्विघात के 2 शून्यक। त्रिघात के 3 शून्यक।रैखिक p(x)=ax+b का शून्यक वह x होता है जहाँ p(x)=0 होता है। ax+b=0 => x=-b/a। यही फॉर्मूला होता है। सबसे ज्यादा पूछता है।

🟢 भाग 3/4 - ग्राफ और गुणनखंड

y=ax+b का ग्राफ सीधी रेखा होता है। यह x-अक्ष को (-b/a,0) पर काटता है। y-अक्ष को (0,b) पर काटता है। a ढाल होता है।रैखिक का ग्राफ हमेशा रेखा होता है। वक्र नहीं बनता।यदि x=c शून्यक है तो (x-c) गुणनखंड होता है। रैखिक में एक गुणनखंड होता है।रैखिक में p(x)=a(x-शून्यक) होता है।

🟣 भाग 4/4 - सभी फॉर्मूले एक साथ Trick

p(x)=ax+b में x=c रखने पर मान ac+b आता है। यही बहुपद का मान होता है।यही अग्निवीर में पक्का पूछते हैं। शून्यक -b/a सबसे ज्यादा।

🔴 भाग 1/4 - अभ्यास 2.1 - बहुपद पहचान - Detail

Q1. बताओ बहुपद है या नहीं? कारण सहित।

(i) 4x²+3x+7
हल: है। घात 2 पूर्ण संख्या है। चर x है। गुणांक 4,3,7 अचर हैं। डिग्री 2 है। द्विघात बहुपद है।

(ii) y²+√2
हल: है। घात 2 पूर्ण है। √2 अचर है। घात पूर्ण है इसलिए बहुपद है।

(iii) 3√t + t√2
हल: नहीं है। √t = t¹/² घात 1/2 भिन्न है। बहुपद में घात भिन्न नहीं होनी चाहिए।

(iv) y + 2/y
हल: नहीं है। 2/y = 2y⁻¹ घात -1 ऋण है। ऋण घात नहीं होनी चाहिए।

(v) x¹⁰+y³+t⁵⁰
हल: है। घात 10,3,50 पूर्ण हैं। तीन चर वाला बहुपद है। डिग्री 50 सबसे बड़ी।Q2. डिग्री बताओ।
(i) 2x-3 रैखिक डिग्री1
(ii) 5 अचर डिग्री0
(iii) x³+2x²+3x+1 त्रिघात डिग्री3
(iv) 7x³ डिग्री3 एकपदीय

🔵 भाग 2/4 - अभ्यास 2.2 - मान निकालना - Detail

Q3. p(x)=5x-4x²+3 पर मान निकालो।

(i) p(0)
हल: x=0 रखो। p(0)=5*0-4*0²+3=0-0+3=3।
Detail: 0 रखने पर अचर ही बचता है। p(0)=3।

(ii) p(-1)
हल: x=-1 रखो। p(-1)=5*(-1)-4*(-1)²+3= -5-4*1+3= -5-4+3= -6।
Detail: (-1)²=1 होता है। ऋण का वर्ग धन। -5-4=-9+3=-6।

(iii) p(2)
हल: x=2 रखो। p(2)=5*2-4*4+3=10-16+3= -3।
Detail: 4*4=16। 10+3=13-16=-3।

Q4. p(x)=2x+3 पर p(0),p(1),p(-3/2)

p(0)=2*0+3=3।
p(1)=2*1+3=5।
p(-3/2)=2*(-3/2)+3= -3+3=0।
Detail: p(-3/2)=0 इसलिए -3/2 शून्यक है। शून्यक पर मान शून्य होता है। यही पहचान है।

🟢 भाग 3/4 - अभ्यास 2.3 - शून्यक निकालना - Detail

Q5. रैखिक बहुपद के शून्यक निकालो।

(i) p(x)=x+5
हल: p(x)=0 करो। x+5=0 => x=-5।
Detail: ax+b=0 => x=-b/a। यहाँ a=1 b=5 => -5/1=-5। शून्यक -5।

(ii) p(x)=x-5
हल: x-5=0 => x=5।
Detail: a=1 b=-5 => -(-5)/1=5। शून्यक 5।

(iii) p(x)=2x+5
हल: 2x+5=0 => 2x=-5 => x=-5/2।
Detail: a=2 b=5 => -5/2। शून्यक -5/2।

(iv) p(x)=3x-2
हल: 3x-2=0 => 3x=2 => x=2/3।
Detail: a=3 b=-2 => -(-2)/3=2/3।

(v) p(x)=3x
हल: 3x=0 => x=0।
Detail: a=3 b=0 => -0/3=0। शून्यक 0।

(vi) p(x)=ax+b , a≠0
हल: ax+b=0 => x=-b/a। यही सूत्र है।Q6. जाँचो -5 और 2 शून्यक हैं क्या p(x)=2x+10 और x-2 पर?
p(x)=2x+10 p(-5)=2*(-5)+10=0 => -5 शून्यक है।
p(x)=x-2 p(2)=0 => 2 शून्यक है। Detail में मान रखकर जाँचो।

🟣 भाग 4/4 - अभ्यास 2.4 - ग्राफ और पूरे प्रश्न - Detail

Q7. y=2x+3 का x और y अक्ष कटान।
हल: x-अक्ष पर y=0 => 0=2x+3 => x=-3/2 => बिंदु (-3/2,0)।
y-अक्ष पर x=0 => y=0+3=3 => बिंदु (0,3)।
Detail: ग्राफ रेखा होती है जो इन दो बिंदुओं से जाती है। ढाल a=2 धन है इसलिए ऊपर जाती है।

Q8. y=x-5 का शून्यक और ग्राफ।
हल: शून्यक x=5। x कटान (5,0) y कटान (0,-5)।
Detail: p(5)=0 ग्राफ x को 5 पर काटता है।

Q9. p(x)=5x-4x²+3 का p(0),p(-1),p(2) हमने किया।
Q10. p(y)=y²-y+1 p(0)=1 p(1)=1 p(2)=3।
Detail: y=0 =>0-0+1=1। y=1=>1-1+1=1। y=2=>4-2+1=3।

Q11. सत्यापित करो x=-1/√3 और 2/√3 शून्यक हैं 3x²-5x?
Detail: 3*(1/3)-5*(-1/√3) नहीं शून्य। गणना Detail में। रैखिक नहीं द्विघात है।

Q12. रैखिक बहुपद बनाओ जिसका शून्यक -3 हो।
हल: शून्यक -3 => (x-(-3))=(x+3) गुणनखंड। p(x)=x+3 या 2x+6 या a(x+3)।
Detail: p(x)=a(x-शून्यक) = a(x+3)। a=1 तो x+3। a=2 तो 2x+6। अनंत बहुपद बन सकते हैं।

🔴 भाग 1/4 - MCQ 1-8 - बहुपद पहचान - अग्निवीर

Q1. कौन बहुपद है?
A) x²+√x B) 1/x+2 C) x²+3x+2 D) x⁻²+5
Ans C) x²+3x+2 घात पूर्ण 2,1,0
Detail: A √x=x¹/² भिन्न नहीं B 1/x=x⁻¹ ऋण नहीं D x⁻² ऋण नहीं

Q2. कौन बहुपद नहीं है?
A) 5 B) 2x+3 C) y+2/y D) x¹⁰
Ans C) y+2/y = y+2y⁻¹ घात -1

Q3. 3√t + t√2 बहुपद क्यों नहीं?
A) √t = t¹/² भिन्न B) √2 कारण C) दोनों D) है
Ans A) √t घात 1/2 भिन्न

Q4. रैखिक बहुपद कौन?
A) x²+1 B) 2x+3 C) x³ D) 5
Ans B) 2x+3 घात1

Q5. 2x+3 की डिग्री?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3
Ans B) 1 रैखिक

Q6. अचर बहुपद 7 की डिग्री?
A) 0 B) 1 C) 7 D) नहीं
Ans A) 0

Q7. x³+2x²+x डिग्री?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0
Ans C) 3 त्रिघात

Q8. p(x)=ax+b a≠0 क्यों?
A) a=0 तो अचर B) a=0 तो रैखिक नहीं C) दोनों D) कोई नहीं
Ans C) a=0 तो bx अचर डिग्री0

🔵 भाग 2/4 - MCQ 9-16 - मान और शून्यक - अग्निवीर

Q9. p(x)=5x-4x²+3 p(0)=?
A) 0 B) 3 C) 5 D) -4
Ans B) 3 Detail: 0-0+3

Q10. p(x)=5x-4x²+3 p(-1)=?
A) -6 B) 6 C) 3 D) -2
Ans A) -6 Detail: -5-4+3=-6

Q11. p(x)=2x+3 p(-3/2)=?
A) 0 B) 3 C) -3 D) 5
Ans A) 0 इसलिए -3/2 शून्यक

Q12. p(x)=x-5 p(5)=?
A) 0 B) 5 C) -5 D) 10
Ans A) 0 Detail: 5-5=0 शून्यक

Q13. p(x)=x+5 शून्यक?
A) 5 B) -5 C) 0 D) 1
Ans B) -5 Detail: x+5=0 => -5

Q14. p(x)=2x+5 शून्यक?
A) 5/2 B) -5/2 C) 2/5 D) -2/5
Ans B) -5/2 Detail: -b/a=-5/2

Q15. p(x)=3x-2 शून्यक?
A) 2/3 B) -2/3 C) 3/2 D) -3/2
Ans A) 2/3 Detail: -(-2)/3

Q16. ax+b शून्यक?
A) b/a B) -b/a C) a/b D) -a/b
Ans B) -b/a अग्निवीर में सबसे ज्यादा पूछता है

🟢 भाग 3/4 - MCQ 17-24 - ग्राफ और गुणनखंड

Q17. y=ax+b ग्राफ?
A) वक्र B) सीधी रेखा C) गोला D) परवलय
Ans B) सीधी रेखा रैखिक

Q18. y=2x+3 x-अक्ष कटान?
A) (0,3) B) (-3/2,0) C) (3/2,0) D) (0,-3/2)
Ans B) (-3/2,0) Detail: y=0 => x=-3/2

Q19. y=2x+3 y-अक्ष कटान?
A) (0,3) B) (3,0) C) (-3/2,0) D) (0,0)
Ans A) (0,3) Detail: x=0 => y=3

Q20. y=x-5 x कटान?
A) (5,0) B) (0,5) C) (0,-5) D) (-5,0)
Ans A) (5,0) शून्यक 5

Q21. p(c)=0 तो गुणनखंड?
A) (x+c) B) (x-c) C) x D) c
Ans B) (x-c)

Q22. शून्यक 5 वाला बहुपद?
A) x+5 B) x-5 C) 2x+5 D) 3x
Ans B) x-5 Detail: (x-5)=0 =>5

Q23. शून्यक -3 वाला बहुपद?
A) x-3 B) x+3 C) x+5 D) x
Ans B) x+3 Detail: (x+3)=0 =>-3

Q24. शून्यक -3 वाले कितने बहुपद?
A) 1 B) 2 C) अनंत D) 0
Ans C) अनंत a(x+3) a≠0

🟣 भाग 4/4 - MCQ 25-32 - अग्निवीर Special Final

Q25. रैखिक के कितने शून्यक?
A) 0 B) 1 C) 2 D) अनंत
Ans B) 1 डिग्री1

Q26. द्विघात के कितने शून्यक max?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 0
Ans B) 2 डिग्री2

Q27. p(x)=3x शून्यक?
A) 0 B) 3 C) -3 D) 1
Ans A) 0 Detail: 3x=0 =>0

Q28. p(x)=x+2x²+3 कौन सा?
A) रैखिक B) द्विघात C) त्रिघात D) अचर
Ans B) द्विघात डिग्री2

Q29. बिल = 50+10x कौन सा बहुपद?
A) रैखिक B) द्विघात C) अचर D) नहीं
Ans A) रैखिक ax+b 10x+50

Q30. y= -2x+5 ढाल?
A) -2 B) 5 C) 2 D) -5
Ans A) -2 Detail: y=ax+b a ढाल

Q31. a>0 तो रेखा?
A) ऊपर जाती B) नीचे C) सीधी D) गोला
Ans A) ऊपर जाती धन ढाल

Q32. रैखिक का मानक रूप?
A) ax²+bx+c B) ax+b a≠0 C) x³ D) a
Ans B) ax+b a≠0